 | 2007/06/15(Fri) 00:46:54 編集(投稿者)
以下、多少語弊がありますが x - |x| を x の「小数部」と呼ぶことにします(x < 0
のとき 1 - 「小数部」 が本当の小数部です)。
(1) x が 0 ≦ x - [x] ＜ 1/2 を満たすとき [x] + [x] ≦ 2x ＜ [x] + [x] + 1
が成り立ちます。したがって、[x] + [x] = [2x] が成立します。一方、そうでない
とき、すなわち 1/2 ≦ x - [x] ＜ 1 のとき [x] + [x] + 1 ≦ 2x ＜ [x] + [x] + 2
[x] + [x] ≠ [x] + [x] + 1 = [2x] となります。以上から
[x] + [x] = [2x]
⇔ x - [x] < 1/2
したがって、小数部が 1/2 より小さい実数全体。
(2) [x + 3] = [x] + 3
⇔ x + 3 - [x + 3] = x - [x]
⇔ x + 3 と x の各小数部が等しい
⇔ 実数全体
(3) [x + 3] = x + 3
⇔ x + 3 - [x + 3] = 0
⇔ x + 3 の小数部が 0
⇔ 整数全体
(4) [9x] = 9
⇔ 9 ≦ 9x ＜ 10
⇔ [1, 10/9)
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