数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 証明の問題 / Page: 0]

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■25654 / inTopicNo.1)

　証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(55回)-(2007/06/13(Wed) 22:47:40)

次の微分公式を証明せよ。

(1) (cot(x))'=-cosec^(2)x

(2)(sinh(x))'=cosh(x)

どなたか、解説宜しくお願いします。

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■25657 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明の問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(297回)-(2007/06/14(Thu) 00:02:44)

ponさん，こんばんわ．

まずは， $2$\cot,\cos ec,\sinh ,\cosh$ の定義を確認しましょう．
$2$ \cot x \equiv \frac{1}{\tan x} \\ \cos ec x \equiv \frac{1}{\sin x} \\ \sinh x \equiv \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\ \cosh x \equiv \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
については，OKでしょうか？

> 次の微分公式を証明せよ。
>
> (1) (cot(x))'=-cosec^(2)x
>
> (2)(sinh(x))'=cosh(x)
>
> どなたか、解説宜しくお願いします。

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■25665 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(56回)-(2007/06/14(Thu) 17:37:57)

はい、定義は分かるのですが、どのように証明すればいいのですか？

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■25670 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 証明の問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(298回)-(2007/06/14(Thu) 20:09:00)

ponさん，こんばんわ．
> はい、定義は分かるのですが、どのように証明すればいいのですか？

(1) $2$y=\cot x=\frac{1}{\tan x}$ は， $2$y=\frac{1}{u}$ と $2$u=\tan x$ の合成関数です．そこで，合成関数の微分法の公式を適用してみましょう．すると，
$2$ \frac{dy}{dx} \\ =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \\ =\cdots\cdots$
となるはずです．まず，この続きを補っていただけますか？

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■25693 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(57回)-(2007/06/15(Fri) 23:02:02)

遅くなりました。
すみません、1/uを微分すると何になるのですか？
tanxは1/cos^2(x)というのは分かるのですが；

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■25697 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 証明の問題

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(299回)-(2007/06/16(Sat) 00:06:23)

ponさん，こんばんわ．
> 遅くなりました。
> すみません、1/uを微分すると何になるのですか？

$2$\frac{1}{u}=u^{(-1)}$ と考えてください．すると，
$2$ \frac{dy}{du} = (u^{(-1)})' = -u^{-2} = -\frac{1}{u^{2}}$
となることが分かります．

> tanxは1/cos^2(x)というのは分かるのですが；

この後は，合成関数の微分法の公式を使って，
$2$ \frac{dy}{dx} \\ =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \\ =-\frac{1}{u^{2}}\frac{1}{\cos ^{2}x} \\ =-\frac{1}{\tan ^{2}x}\frac{1}{\cos ^{2}x} \\ =-\frac{1}{\sin ^{2}x} \\ =-\cos ec^{2}x$
となることが分かります．

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■25710 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(58回)-(2007/06/17(Sun) 01:13:26)

合成関数の微分法を使ったときに、-1/u^2が、-1/tan^2(x)となったのは何故ですか？あと、これらの計算は掛けているのですよね？

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■25734 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(59回)-(2007/06/17(Sun) 20:08:04)

どなたか分かる方いませんか？

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■25735 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 証明の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1241回)-(2007/06/17(Sun) 21:05:48)

■No25710に返信(ponさんの記事)
> 合成関数の微分法を使ったときに、-1/u^2が、-1/tan^2(x)となったのは何故ですか？
No25670 で
u = tan x とおいてあります。

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■25736 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(60回)-(2007/06/17(Sun) 21:15:46)

あ、書いてありました；

あと(2)なのですが、sinh(x)={e^(s)-e^(-s)}/2からどのように証明していけばいいのですか？
宜しくお願いします。

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■25737 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 証明の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1242回)-(2007/06/17(Sun) 21:31:42)

■No25736に返信(ponさんの記事)
>sinh(x)={e^(x)-e^(-x)}/2からどのように証明していけばいいのですか？
証明というより微分の計算です。
{ {e^(x) - e^(-x)}/2 }' = {e^(x) + e^(-x)}/2

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■25738 / inTopicNo.12)

　Re[10]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(61回)-(2007/06/17(Sun) 21:55:37)

そこからどのようにすればいいのですか？

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■25739 / inTopicNo.13)

　Re[11]: 証明の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1243回)-(2007/06/17(Sun) 22:01:03)

2007/06/17(Sun) 22:01:31 編集(投稿者)

■No25738に返信(ponさんの記事)
> そこからどのようにすればいいのですか？

{ {e^(x) - e^(-x)}/2 }' = {e^(x) + e^(-x)}/2

左辺、右辺とも定義通りの形ですから、これでおわりです。

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■25740 / inTopicNo.14)

　Re[12]: 証明の問題

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□投稿者/ pon 付き人(62回)-(2007/06/17(Sun) 22:03:41)

あ、そっかなってますね！
ありがとうございました！！

解決済み!

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