数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 微分（応用） / Page: 0]

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■2564 / inTopicNo.1)

　微分（応用）

□投稿者/ きよみず一般人(1回)-(2005/08/03(Wed) 14:32:29)

こんにちは。
お久しぶりです。お世話になります。

夏休みということで課題が出されてしまいました…。
解き方が分からず、苦労しています。
どなたか教えてください！

次の不等式が成り立つことを証明せよ。
　(1)x≠0のとき、e^x>1+x
　(2)x>0のとき、e^x>1+x+(x^2)/2

どのように手をつけていいのか全く分かりません；
どなたかご教授頂ければ幸いです。
よろしくお願いいたします。

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■2565 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分（応用）

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□投稿者/ 豆ベテラン(216回)-(2005/08/03(Wed) 16:12:40)

(1)　f(x)=e^x-(1+x)とおく
f’(x)=e^x-1　　f’(0)=0　つまり　x=0で極小かつ最小となり、
f(0)=0　なので　x≠0ではf(x)＞0　となり証明完了

(2)　(1)よりx＞0でe^x＞1+xが成立する。
積分区間[0,x]で積分しても不等号は成立するので、
e^x-1＞x+(1/2)x^2　となり証明完了

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■2570 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分（応用）

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□投稿者/ きよみず一般人(2回)-(2005/08/03(Wed) 20:05:33)

お返事ありがとうございます！
解き方が分かり、とても助かりました。
(1)は理解できました。

(2)なのですが、『積分区間[0,x]で積分しても不等号は成立する』ということを
実際に計算して証明した方が良いのでしょうか？

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■2597 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分（応用）

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□投稿者/ 豆ベテラン(219回)-(2005/08/03(Wed) 23:41:10)

(2)に関して、おっしゃっている意味がよく分かりませんが、
e^x＞1+x　を区間[0,x]で積分した結果が、
e^x-1＞x+(1/2)x^2　ですが。