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■25375 / inTopicNo.1) 　数列の入試問題。
  ▼■
□投稿者/ kamenoko 一般人(1回)-(2007/06/02(Sat) 12:44:29)
    数列｛an}は
    a1＝2、an>0　(n=1,2,・・・)
    を満たすとする。この数列｛an}に対して、放物線郡
    　y＝an+1-anx^2
    を定義すると、各放物線とｘ軸で囲まれる図形の面積がｎに無関係な定数となるという。このとき、次の問いに答えよ。

    （1）an+1とanとの間に成り立つ関係式を求めよ。
    （2）数列{an}の一般項anを求めよ。

    この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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■25378 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列の入試問題。
□投稿者/ X 大御所(275回)-(2007/06/02(Sat) 13:46:20)
    y=a[n+1]-a[n]x^2 (A)
    とします。
    (1)
    (A)とx軸との交点のx座標は
    √{a[n+1]/a[n]},-√{a[n+1]/a[n]}
    ∴(A)とx軸で囲まれた図形の面積をSとすると、a[n]>0に注意して
    S=∫[-√{a[n+1]/a[n]}→√{a[n+1]/a[n]}]{a[n+1]-a[n]x^2}dx
    =[a[n+1]x-(1/3)a[n]x^3][-√{a[n+1]/a[n]}→√{a[n+1]/a[n]}]
    =2a[n+1]√{a[n+1]/a[n]}-(2/3)a[n]{a[n+1]/a[n]}^(3/2)
    =(4/3)a[n+1]√{a[n+1]/a[n]} (A)
    (A)がnに無関係な定数となるので、それをCとすると
    (4/3)a[n+1]√{a[n+1]/a[n]}=C (B)
    ∴n=1のとき
    C=(4/3)a[2]√{a[2]/a[1]} (B)'
    ここで
    a[1]=2
    (B)に代入して
    C=(2/3)a[2]√(2a[2])
    よって(B)は
    (4/3)a[n+1]√{a[n+1]/a[n]}=(2/3)a[2]√(2a[2])
    整理して
    a[n+1]√{a[n+1]/a[n]}=a[2]√(a[2]/2)
    (2)
    式が見難いので
    D=a[2]√(a[2]/2)
    と置きます。
    (1)の結果より
    log[2][a[n+1]√{a[n+1]/a[n]}]=log[2]D
    ∴log[2]a[n]=A[n]と置くと
    (3/2)A[n+1]-(1/2)A[n]=log[2]D
    ∴A[n+1]=(1/3)A[n]+(2/3)log[2]D (C)
    (C)を
    A[1]=log[2]a[1]=1
    の下で解きます。

    注）
    問題にタイプミスはありませんか？。この問題はa[2]の値も与えられていないと
    回答からa[2]を消去することができません。
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