数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 整数問題 / Page: 0]

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■25367 / inTopicNo.1)

　整数問題

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□投稿者/ マナ一般人(1回)-(2007/06/02(Sat) 00:45:06)

X^2－3XY＋3Y^2＝9を満たす、X＞0、Y＞0の整数解を求めよ。という問題です。お願いします。

(携帯)

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■25368 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ lati 一般人(1回)-(2007/06/02(Sat) 01:02:34)

図の上の格子点故スグ見つかる；

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■25370 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(718回)-(2007/06/02(Sat) 01:26:48)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

X^2=3(XY-Y^2+3) からXは3の倍数なので、X=3pを代入して整理すると 3p^2-3pY+Y^2=3
Y^2=3(-p^2+pY+1) からYは3の倍数なので、Y=3qを代入して整理すると p^2-3pq+3q^2=1
(2p-3q)^2+3q^2=4 で q＞0 なので q=1 となり、p=1,2
よって求める整数解は (X,Y)=(3p,3q)=(3,3),(6,3)

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■25372 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ lati 一般人(2回)-(2007/06/02(Sat) 10:19:36)

■No25368に返信(latiさんの記事)
> 図の上の格子点故スグ見つかる；

z------->3z
(1/3)z<-----z

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■25446 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ 10 一般人(1回)-(2007/06/05(Tue) 13:47:57)

(2p-3q)^2+3q^2=4 で q＞0 なので q=1 となり、p=1,2
ここを詳しく解説してください！！
お願いします。らすかるさん

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■25447 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(724回)-(2007/06/05(Tue) 16:22:32)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

p^2-3pq+3q^2=1 で pを含む項を平方完成すると
{p-(3/2)q}^2-(9/4)q^2+3q^2=1
{p-(3/2)q}^2+(3/4)q^2=1
両辺を4倍して
(2p-3q)^2+3q^2=4
Y＞0, Y=3q から q＞0 であり、
q≧2 のとき (左辺)=(2p-3q)^2+3q^2≧3q^2≧12 となって
式が成り立たないので、qの値としてあり得るのはq=1のみ。
これを (2p-3q)^2+3q^2=4 に代入すると (2p-3)^2+3=4
整理して (p-1)(p-2)=0 よって p=1,2

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