 | θが弧度法で表記されていないと問題として成立しません。
∴0<θ<π/2として回答します。
条件より
Sn(θ)=θ(1-θ^n)/(1-θ)(θ≠1のとき)
Sn(θ)=n(θ=1のとき)
ここで
L=lim[n→∞]Sn(tanθ)/Sn(θ)
と置き
π/4<1
に注意すると
(i)0<θ<π/4のとき
L=lim[n→∞]{tanθ(1-(tanθ)^n)/(1-tanθ)}(1-θ)/{θ(1-θ^n)}
=lim[n→∞][(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}]{1-(tanθ)^n}/(1-θ^n) (A)
0<tanθ<1ゆえ
(A)=(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}
(ii)θ=π/4のとき
L=lim[n→∞]n(1-θ)/{θ(1-θ^n)}=∞
(iii)π/4<θ<1のとき
L=lim[n→∞][(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}]{1-(tanθ)^n}/(1-θ^n)
=-∞
(iv)θ=1のとき
L=lim[n→∞]{tan1(1-(tan1)^n)/(1-tan1)}/n
=-∞
(v)1<θ<π/2のとき
L=lim[n→∞][(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}]{1-(tanθ)^n}/(1-θ^n)
=lim[n→∞][(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}][{1-1/(tanθ)^n}/(1-1/θ^n)]{(tanθ)/θ}^n (B)
ここで
f(θ)=tanθ-θ
と置くと
f'(θ)=1/(cosθ)^2-1>0
∴f(θ)>f(1)>0
∴tanθ>θ
∴(tanθ)/θ>1
∴(B)より
L=∞
以上をまとめて
lim[n→∞]Sn(tanθ)/Sn(θ)
=(1-θ)tanθ/{θ(1-tanθ)}(0<θ<π/4のとき)
=∞(θ=π/4,1<θ<π/2のとき)
=-∞(θ=π/4<θ≦1のとき)
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