 | y=x(x+1)^2 (A)
y=ax^2 (B)
として、まず(A)(B)の交点のx座標を求めます。
(A)(B)よりyを消去して
ax^2=x(x+1)^2
整理して
x{x^2+(2-a)x+1}=0 (B)
∴x=0
又は
x^2+(2-a)x+1=0 (B)'
問題の面積が存在するためには、(B)の解が少なくとも２つは存在しないといけないので(B)'の解の判別式をDとすると
D=(2-a)^2-4≧0
∴a≦0,4≦a
このときの(B)'の解をα,β(α<β)とすると
α=[(a-2)-√{a(a-4)}]/2
β=[(a-2)+√{a(a-4)}]/2
(i)a≦0のとき
このとき
α<β<0
∴条件を満たすためには
∫[α→β]{x(x+1)^2-ax^2}dx=∫[β→0]{ax^2-x(x+1)^2}dx
これより
∫[α→0]{x(x+1)^2-ax^2}dx=0
∴(1/3)aα^3-(1/4)α^4-(2/3)α^3-(1/2)α^2=0
∴(4aα-3α^2-8α-6)α^2=0
α≠0より
4aα-3α^2-8α-6=0 (C)
ここでαは(B)'の解ゆえ
α^2+(2-a)α+1=0
∴α^2=(a-2)α+1
これを(C)に代入して
(a-2)α-9=0
更にαを代入すると
(a-2)[(a-2)-√{a(a-4)}]/2-9=0
a-2=Aと置くと
A^2-18=A√(A^2-4)
∴(A^2-18)^2=(A^2)(A^2-4)かつ(A≦0,4≦A)
∴32A^2=18^2かつ(A≦0,4≦A)
∴A^2=81/8かつ(A≦0,4≦A)
∴A=-9/(2√2)
∴a=2-9/(2√2)
(ii)4≦aのとき
このとき
0<α<β
∴(i)と同様に考えると、
∫[0→β]{x(x+1)^2-ax^2}dx=0
後の処理は(i)の場合と同じです（自分でやってみて下さい）。
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