 | 2007/05/27(Sun) 16:53:29 編集(投稿者)
(1)
選んだ文字の先頭が0,1いずれの場合も、ちょうどn個だけ同じ数字が続く確率は
(1-x)x^(n-1)
∴P(n)=2(1-x)x^(n-1)
です。
(2)
(1)の結果より
L=Σ[n=1〜∞]nP(n)=Σ[n=1〜∞]2n(1-x)x^(n-1)
=lim[n→∞]2Σ[k=1〜n]k(1-x)x^(k-1)
=lim[n→∞][(d/dx)Σ[k=1〜n](1-x)x^k+Σ[k=1〜n]x^k]
=lim[n→∞](d/dx){(1-x)x(1-x^n)/(1-x)}+x(1-x^n)/(1-x)}
=lim[n→∞]{1-(n+1)x^n+x(1-x^n)/(1-x)}
=lim[n→∞]{-nx^n-x^n+{1+x^(n+1)}/(1-x)}
ここでlim[n→∞]nx^n=0 (A)
∴L=1/(1-x)
となります。
(A)の(∵)
lim[n→∞]log(nx^n)=lim[n→∞](logn+nlogx)
=lim[n→∞]n{(logn)/n+logx} (B)
ここでn>1に対し
0<(logn)/n<{n^(1/2)}/n=1/n^(1/2)
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞](logn)/n=0
∴(B)よりlim[n→∞]log(nx^n)=-∞
∴lim[n→∞]nx^n=0
(3)
j番目が0の場合と1の場合を考えて
Q[j+1]=xQ[j]+(1-x)(1-Q[j])
整理して
Q[j+1]=(2x-1)Q[j]+1-x
(4)
(3)の結果の漸化式をQ[1]=1の下で解きます。
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