 | 2007/05/27(Sun) 00:10:29 編集(投稿者)
(1) まず、出る目の総数は 6^3 = 216 通りです。ここで、目 a, b が出るという事象
を ○ と ｜ を用いて
○...(a-1 個)...○｜○...(b-1 個)...○
と表現したとしましょう。このとき、a + b = n (≧ 2)となるような a, b の場合
の数は (a - 1) + 1 + (b - 1) = n - 1 個の ○, ｜ 達の中から 1 個の ｜
(もしくは n 個の ○)を選んでくる組み合わせの数 C[n-1, 1] = n - 1 に等しく
なります。したがって、a + b < c なる a, b の場合の数は
∑[n:2→c-1](n - 1) = 1/2 (c - 2)(c - 1)
となります(3 ≦ c ≦ 6)。上式を c = 3, 4, 5, 6 について足しこめばよいのですが、
上式が c = 1, 2 のとき 0 となることを考慮すると、条件を満たす場合の数は
∑[c:1→6] 1/2 (c - 2)(c - 1)
= 1/2 ∑[c:1→6](c^2 - 3c + 2)
= 1/2 { 1/6×6×(6 + 1)×(2×6 + 1) - 3/2×6×(6 + 1) + 2×6 }
= 20
となります。以上から、確率は 20/216 = 5/54 です。ちなみに、各 c に対して
とりうる a, b の場合を地道に列挙する方法でも ok です。
(2) 事象 Å3 を「A3 の余事象」= A3^c と解釈します。ベン図を考えると、確率は
P(A1∩A2∩A3^c)
= P( (A1∩A2) ∩ (A1∩A2∩A3)^c )
= P(A1∩A2) - P(A1∩A2∩A3)
= 0.074 - 0.008
= 0.066 ･･･ (a)
となります(A^c は A の余事象)。
また、このゲームにおいて、各人の間には何の差別もありません。したがって、事象
A1, A2, A3 に関するあらゆる集合演算 S(A1, A2, A3) に対して、インデックス
i, j, k ∈ {1, 2, 3} が相異なれば P( S(Ai, Aj, Ak) ) = P( S(A1, A2, A3) )
が成り立つはずです。つまり i, j, k に関する対称式ということです。ここで、丁度
2 組のカップルができるという事象は Ai∩Aj∩Ak^c で網羅されます。つまり、確率
は(a)およびベン図から
P( (A1∩A2∩A3^c)∪(A1∩A2^c∩A3)∪(A1^c∩A2∩A3) )
= P(A1∩A2∩A3^c) + P(A1∩A2^c∩A3) + P(A1^c∩A2∩A3)
= 0.066 + 0.066 + 0.066
= 0.198
となります。
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