数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 重積分 / Page: 0]

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■25145 / inTopicNo.1)

　重積分

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□投稿者/ わんわん付き人(76回)-(2007/05/24(Thu) 14:59:39)

Ｒ^2の部分集合Ｄを
Ｄ={(x,y)|　x^2+y^2>=1,|y|=<1/2}　　で定めます。
積分
∫∫1/x^2dxdy　　の値の求め方がわからないのですが、

すいません、教えてください。お願いいたします。

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■25148 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重積分

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(285回)-(2007/05/24(Thu) 15:24:58)

わんわんさん，こんばんわ．

> Ｒ^2の部分集合Ｄを
> Ｄ={(x,y)|　x^2+y^2>=1,|y|=<1/2}　　で定めます。
> 積分
> ∫∫1/x^2dxdy　　の値の求め方がわからないのですが、
>
> すいません、教えてください。お願いいたします。

$2$ x^{2}+y^{2}\geq 1 \\ \Longleftrightarrow x^{2}\geq 1-y^{2} \\ \Longleftrightarrow x\leq -\sqrt{1-y^{2}},\quad x\geq \sqrt{1-y^{2}}$
だから，
$2$ \iint_{D}\frac{1}{x^{2}}dxdy \\ =\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}dy\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{-\sqrt{1-y^{2}}}\frac{1}{x^{2}}dx+\displaystyle\int_{\sqrt{1-y^{2}}}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}dx\right) \\ =2\times\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}dy\displaystyle\int_{\sqrt{1-y^{2}}}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}} \\ =2\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}dy\left[-\frac{1}{x}\right]_{\sqrt{1-y^{2}}}^{\infty} \\ =2\displaystyle\int_{-1/2}^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}dy \\$
ここから先は，
$2$ y=\sin \theta\left(-\frac{\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{\pi}{6}\right)$
と置換積分で計算してみてください．

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■25183 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 重積分

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□投稿者/ わんわん付き人(78回)-(2007/05/25(Fri) 13:44:29)

ウルトラマンさんありがとうございます。
理解できました。

解決済み!

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