 | x(t)=f(t)cost,y(t)=f(t)sint
ですので
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2={f'(t)}^2+{f(t)}^2 (A)
ここで
f(t)=e^(-√t)
ですので(A)は
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2={{-1/(2√t)}e^(-√t)}^2+{e^(-√t)}^2
=(1+1/(4t)){e^(-√t)}^2
∴L=∫[a→b]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=∫[1→4]{e^(-√t)}√{1+1/(4t)}dt
ここで√t=uと置くとt=u^2,dt=2udu
でt:1→4にu:1→2が対応し
L=∫[1→2]{e^(-u)}√{1+1/(4u^2)}(2u)du
=∫[1→2]{e^(-u)}√(1+4u^2)du
<∫[1→2]{e^(-u)}√(1+4u^2+4u)du
ここで
∫[1→2]{e^(-u)}√(1+4u^2+4u)du
=∫[1→2]{e^(-u)}(2u+1)du
=[-{e^(-u)}(2u+1)][1→2]+2∫[1→2]{e^(-u)}du
=3/e-5/e^2+2/e-2/e^2
=5/e-7/e^2
よって
L<5/e-7/e^2
(注)不等号の下の等号は成立しません。
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