数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数列の証明 / Page: 0]

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■25107 / inTopicNo.1)

　数列の証明

□投稿者/ わんわん付き人(74回)-(2007/05/23(Wed) 15:01:28)

数列{x[n]}を次のように定義する。
x[1]=0,

$2$ x_{n+1}=x_{n}+1/2(1/2-x_{n}^2)$

　　　（n=1,2,3,・・・）
このとき、数列 {x[n]}が収束することを示せ。

なんですが、すいません教えてください。お願いいたします。

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■25135 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の証明

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□投稿者/ ゼロファミリー(168回)-(2007/05/24(Thu) 11:30:46)

この式は
x_{n+1}=x_n+1/4-x_n^2/2と解釈して宜しいのでしょうか?

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■25144 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の証明

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□投稿者/ わんわん付き人(75回)-(2007/05/24(Thu) 14:51:26)

> この式は
> x_{n+1}=x_n+1/4-x_n^2/2と解釈して宜しいのでしょうか?

はい、そうです。わかりづらくてすいません。

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■25147 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列の証明

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□投稿者/ ゼロファミリー(171回)-(2007/05/24(Thu) 15:17:30)

x_{n+1}=-x_n^2/2+x_n+1/4=-(x_n-1)^2/2+3/4・・・①
x_n^2≦1/2と仮定します。

この時、(-1/√2+1)^2≦(x_n-1)^2≦(1/√2+1)^2
これより、-1/√2≦①≦1/√2

よって、x_{n+1}^2≦1/2
以上のことから、x_0^2=0≦1/2なので、全てのnでx_n^2≦1/2

よって、x_nは上に有界な単調増加数列になります。このような数列は極限値
を持つので、x_nは収束します。
その値はx_{n+1}=x_nと置くことにより、1/√2です。

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■25181 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列の証明

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□投稿者/ わんわん付き人(77回)-(2007/05/25(Fri) 11:53:29)

ゼロさんありがとうございます。助かりました。

解決済み!

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