 | 以下Cは積分定数とします。
tan(x/2)=t
と置くと
dx=2dt/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
∴∫dx/(A+Bcosx)=2∫dt/{A(1+t^2)+B(1-t^2)}
=2∫dt/{(A-B)t^2+(A+B)}
(i)A=Bのとき
∫dx/(A+Bcosx)=(1/B)∫dt=(1/B)tan(x/2)+C
(ii)A≠Bのとき
∫dx/(A+Bcosx)
={2/(A-B)}∫dt/{t^2+(A+B)/(A-B)}
(I)(A+B)/(A-B)>0、つまり-A<B<Aのとき
∫dx/(A+Bcosx)
={2/(A-B)}√{(A-B)/(A+B)}arctan{t√{(A-B)/(A+B)}+C
={2/√{(A^2-B^2)}arctan{{√{(A-B)/(A+B)}tan(x/2)}+C
(II)(A+B)/(A-B)<0、つまり-B<A<Bのとき
∫dx/(A+Bcosx)
={2/(A-B)}∫dt/[{t-√{(B+A)/(B-A)}}{t+√{(B+A)/(B-A)}}]
={1/(A-B)}√{(B-A)/(B+A)∫[1/{t-√{(B+A)/(B-A)}-1/{t+√{(B+A)/(B-A)}]dt
={1/√(B^2-A^2)}log[{t+√{(B+A)/(B-A)}/{t-√{(B+A)/(B-A)}]+C
={1/√(B^2-A^2)}log[{tan(x/2)+√{(B+A)/(B-A)}/{tan(x/2)-√{(B+A)/(B-A)}]+C
以上から
A=Bのとき
∫dx/(A+Bcosx)=(1/B)tan(x/2)+C
-A<B<Aのとき
∫dx/(A+Bcosx)={2/√{(A^2-B^2)}arctan{{√{(A-B)/(A+B)}tan(x/2)}+C
-B<A<Bのとき
∫dx/(A+Bcosx)={1/√(B^2-A^2)}log[{tan(x/2)+√{(B+A)/(B-A)}/{tan(x/2)-√{(B+A)/(B-A)}]+C
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