 | 外接円は関係なさげですね．余弦定理を使いましょう．
∠BAD=∠CAD=θとでもおきます．
△ABDについての余弦定理：BD^2=AD^2+AB^2-2AB*ADcosθ…①
△ACDについての余弦定理：CD^2=AD^2+AC^2-2AC*ADcosθ…②
ここで，①,②からcosθを消去して，ADについて解いていくのですが，このまま消去しても目的の形にはなりません．
従って，角の二等分線の性質を用います．それは，『AB:AC=BD:CD』で，この値をb:cとしましょう．
AB:AC=b:c ⇒ AB=bm,AC=cmとおけます．一方，BD:CD=b:c ⇒ BD=bn,CD=cnとできます．
これを用いると
①：b^2n^2=AD^2+b^2m^2-2bm*ADcosθ ⇒ b^2(n^2-m^2)=AD^2 -2bm*ADcosθ
②：c^2n^2=AD^2+c^2m^2-2cm*ADcosθ ⇒ c^2(n^2-m^2)=AD^2 -2cm*ADcosθ
となり，①*c-②*bにより
(b^2c-c^2b)(n^2-m^2)=(c-b)AD^2 ⇒ AD^2=bc(m^2-n^2) ⇒ AD^2=(bm)(cm)-(bn)(cn)
で，先ほど置いた文字を全て元に戻すと
AD^2=AB*AC-BD*CD で両辺に平方根を取ると，目的の形(何か違うけど)が出てきます．
|