 | 2007/05/18(Fri) 13:25:51 編集(投稿者)
点Pにおけるy=f(x)の接線、法線の方程式はそれぞれ
y=f'(t)(x-t)+f(t) (A)
y={-1/f'(t)}(x-t)+f(t) (B)
∴Q(t-f(t)/f'(t),0),R(t+f'(t)f(t),0)
∴F(t)=QR=|f'(t)f(t)+f(t)/f'(t)| (C)
ですが,(i)(ii)とt≧0によりf'(t)>0,f(t)>0
∴F(t)=QR=f'(t)f(t)+f(t)/f'(t) (C)'
(C)'を
F(t)/f(t)=f(t)/f'(t) (D)
に代入すると
f'(t)+1/f'(t)=f(t)/f'(t) (E)
(E)を微分方程式と見て解いていきます。
(E)より
f'(t)=√{f(t)-1}
∴2√{f(t)-1}=t+C (C:任意定数) (E)'
∴f(t)=(1/4)(t+C)^2+1 (E)"
但し(ii)(E)'より
C=2√{f(0)-1}>2√(a-1) (F)
と、ここまで前準備をして
(1)
(E)"より
x>0のとき
f'(x)=(1/2)(x+C)
f''(x)=1/2>0
∴x>0においてf'(x)は単調増加。
又
f(x+h)-f(x)=(1/4)(x+h+C)^2-(1/4)(x+C)^2
=(1/2)h(x+C)+(1/4)h^2
=(1/4)h{2(x+C)+h}
>(1/4)h(2C+h)
よって(F)より
f(x+h)-f(x)>(1/4)h(4√(a-1)+h)=h√(a-1)+h^2>h√(a-1)
(つまり、証明すべき不等式の等号は成立しません。
問題文にタイプミスはありませんか？)
(2)
(C)(E)"より
F(t)=f'(t)f(t)+f(t)/f'(t)
=(1/2)(t+C){(1/4)(t+C)^2+1}+{(1/4)(t+C)^2+1}/{(1/2)(t+C)}
=(1/8)(t+C){(t+C)^2+4}+{(t+C)^2+4}/{2(t+C)}
ここでt+C=uと置くと(F)より
2√(a-1)<u (G)
で
F(t)=(1/8)u(u^2+4)+(u^2+4)/(2u)
=(1/8)u^3+u+2/u (H)
(G)の範囲で、uの関数(H)の増減を考えます。
こちらの計算では
a<11/8のとき、最小値は(361/192)√3
a≧11/8のとき。最小値は無し
となりました。（間違っていたらごめんなさい。）
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