 | 1)点Aから辺BCに下ろした垂線の足をD,線分ADと線分RSとの交点をEとします。
正方形PQRSの長さをx,BSをyとすると
△BPSについて
x=ysinθ (A)
△ASEについて
ES=(1-y)cosθ (B)
ここで△ARSは∠ASR=∠ARS=θの二等辺三角形ですので
AEはRSの垂直二等分線です。よって
ES=(1/2)RS=x/2 (C)
(B)(C)より
x/2=(1-y)cosθ (D)
(A)(D)をx,yについての連立方程式と見て解いて
x=2sinθcosθ/(sinθ+2cosθ) (E)
(2)
△ABCは∠B=∠C=θの二等辺三角形ですので
0<∠A=π-2θ<π
∴0<θ<π/2 (F)
(F)の範囲で(E)を最大にするθを求めます。
(E)において
sinθ+2cosθ=u (G)
2sinθcosθ=v (H)
と置くと
x=v/u (E)'
2sinθ,cosθはtの二次方程式
t^2-ut+v=0 (I)
の解です。
従って(I)の解の判別式をDとすると
D=u^2-4v≧0
∴u(u-4v)≧0 (J)
ここで(F)よりsinθ>0,2cosθ>0ゆえ(G)(H)よりu>0,v>0
∴(J)から
v/u≦1/4
∴(E)'よりxは(I)が重解を持つとき、つまり
sinθ=2cosθ (K)
のときに最大となることが分かります。
(K)より
sinθ-2cosθ=0
√5sin(θ-α)=0 (K)'
(但しαは
cosα=1/√5 (L)
sinα=2/√5 (M)
0<α<π/2 (N)
なる角)
(F)より
-π/2<-α<θ-α<π/2-α<π/2
ですので
θ=α (O)
ここで
BC=2BD=2ABcos∠B=2cosθ
∴(L)(O)より求めるBCの長さは2/√5です。
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