 | 問題の点Pを通る直線は放物線
y=x^2 (A)
と異なる二点で交わりますのでy軸平行ではありません。
∴その方程式は
y=a(x+2)+2 (B)
と置くことができます。
(A)(B)からyを消去して
x^2-ax-2a-2=0 (C)
ここで(C)は異なる二つの実数解を持たなければならないので、
解の判別式をDとすると
D=a^2+4(2a+2)>0 (D)
又、解をα、βと置くと解と係数の関係より
α+β=a (E)
αβ=-a-2 (F)
で
A(α,α^2),B(β,β^2)
とすることができます。よって線分ABの中点の座標を
(X,Y)
とすると
X=(α+β)/2 (G)
Y=(α^2+β^2)/2 (H)
(E)(F)(G)(H)より
X=a/2 (G)'
Y={a^2+2(a+2)}/2 (H)'
(G)'(H)'よりaを消去して
Y=2X^2+2X+2
又、(D)(G)'よりaを消去すると
4X^2+4(4X+2)>0
∴X<2-√2,2+√2<X
よって求める軌跡は
放物線y=2x^2+2x+2
(但しx<2-√2,2+√2<x)
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