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■24865 / inTopicNo.1)

　証明

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□投稿者/ やま一般人(1回)-(2007/05/14(Mon) 17:55:24)

X＋Y＋Z＝3
（X‐1）^3＋（Y‐1）^3＋（Z‐1）^3＝0のときX Y Zのうち少なくとも1つは1に等しいことを証明せよ。
という問題です。
教えてください。。

(携帯)

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■24866 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ シッタカ一般人(1回)-(2007/05/14(Mon) 18:48:26)

どれかが１でないと＝０にならないということは、
(X-1)(Y-1)(Z-1)=0の式を作ればよいという風に考えます。
左辺を因数分解したいので、できる形にします。
（X‐1）^3＋（Y‐1）^3＋（Z‐1)^3＝0
=（X‐1）^3＋（Y‐1）^3＋（Z‐1）^3-3(X-1)(Y-1)(Z-1)+3(X-1)(Y-1)(Z-1)＝0
=(X-1+Y-1+Z-1){(X-1)^2+(Y-1)^2+(Z-1)^2-(X-1)(Y-1)-(Y-1)(Z-1)-(Z-1)(X-1)}+3(X-1)(Y-1)(Z-1)=0
ここで、X＋Y＋Z＝3なので、(X-1+Y-1+Z-1)=0　から、
=(X-1+Y-1+Z-1){(X-1)^2+(Y-1)^2+(Z-1)^2-(X-1)(Y-1)-(Y-1)(Z-1)-(Z-1)(X-1)}=0
したがって、3(X-1)(Y-1)(Z-1)=0

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■24867 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ サイクリック一般人(1回)-(2007/05/14(Mon) 18:48:55)

すんません。今全て書く時間が無いのでアドバイスだけですが・・・。

対偶を利用して、
（X‐1）^3＋（Y‐1）^3＋（Z‐1）^3≠0　の時X Y Zのうちひとつも1と等しくない事を証明すれば良いと思います。

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■24868 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ らすかる大御所(686回)-(2007/05/14(Mon) 18:52:36)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

シッタカさんと同じですが、文字を置き換えると多少見やすくなります。
X-1=x, Y-1=y, Z-1=z とおくと
x+y+z=(X-1)+(Y-1)+(Z-1)=X+Y+Z-3=0
(X-1)^3+(Y-1)^3+(Z-1)^3=x^3+y^3+z^3
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=3xyz=0
∴x=0 または y=0 または z=0
よって X=1 または Y=1 または Z=1

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