 | 2007/05/14(Mon) 11:16:21 編集(投稿者)
f(x)=4(cosx)^2-8cosx+3 (A)
g[n](k)=f(π/(3n))+f(2π/(3n))+・・・+f(kπ/(3n)) (B)
とします。
(1)
g[n](k-1)≧g[n](k)
より
g[n](k)-g[n](k-1)≦0
これに(B)を代入すると
f(kπ/3n)≦0
更に(A)を代入すると
4(cos(kπ/(3n)))^2-8cos(kπ/(3n))+3≦0
∴{2cos(kπ/(3n))-1}{2cos(kπ/(3n))-3}≦0
∴1/2≦cos(kπ/(3n))≦3/2 (C)
ここで2≦k≦3nゆえ
2π/(3n)≦kπ/(3n)≦πかつ2π/(3n)≦π/2
∴(C)より
2π/(3n)≦kπ/(3n)≦π/3
∴2≦k≦n
∴k=2,3,...,n (D)
又、このとき
k=n+1,...,3n (E)
において
g[n](k-1)<g[n](k)
∴g[n](k)は
1≦k≦nのとき単調減少
n+1≦k≦3nのとき単調増加
になるので
k=nのときに最小になります。
(2)
(1)の結果より
G[n]=g[n](n)
=f(π/(3n))+f(2π/(3n))+・・・+f(nπ/(3n))
=Σ[k=1〜n]f(kπ/(3n))
∴lim[n→∞]G[n]/n
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]f(kπ/(3n))(1/n)
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n]f((π/3)(k/n))(1/n)
=∫[0→1]f((π/3)x)dx (∵)区分求積法による
=∫[0→1]{4(cos(πx/3))^2-8cos(πx/3)+3}dx
=…
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