数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 行列 / Page: 0]

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■24825 / inTopicNo.1)

　行列

□投稿者/ 考える人一般人(4回)-(2007/05/13(Sun) 15:03:43)

問題

A= $2$ \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ ,

X= $2$ \left( {\begin{array} x \\ y \\ \end{array}} \right)$ ,

O= $2$ \left( {\begin{array} 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ ,

detA=ad-bcとおくとき、
　　　AX=OとなるXがO以外に存在する
ための必要十分条件は
　　　detA=0
であること示せ。

解）AX=OとなるXがO以外に存在する⇔detA=0の証明。
(1)detA≠0なら $2$A^-1$ が存在するので、AX=Oであれば左から $2$A^-1$ をかけてX=Oとなり、AX=OとなるX≠Oは存在しない。
(2)detA=0のとき、B= $2$ \left( {\begin{array} d & -b \\ -c & a \\ \end{array}} \right)$
とすると、

AB= $2$ \left( {\begin{array} a & b \\ c & d \\ \end{array}} \right)$ $2$ \left( {\begin{array} d & -b \\ -c & a \\ \end{array}} \right)$
= $2$ \left( {\begin{array} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}} \right)$
より、
X= $2$ \left( {\begin{array} d \\ -c \\ \end{array}} \right)$ に対しAX=O、X= $2$ \left( {\begin{array} -b \\ a \\ \end{array}} \right)$ に対しAX=O
が成立する。

ここまでは分かるのですが、

「A≠Oなら、 $2$ \left( {\begin{array} d \\ -c \\ \end{array}} \right)$ , $2$ \left( {\begin{array} -b \\ a \\ \end{array}} \right)$ の少なくとも一方はOではないので、証明は終わる。」
というのがよく分かりません。
教えてください。
お願いします

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■24826 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列

▲▼■

□投稿者/ X ベテラン(227回)-(2007/05/13(Sun) 19:32:20)

まず
(1)「AX=OとなるXがO以外に存在する⇒detA=0」の証明
(2)「detA=0⇒AX=OとなるXがO以外に存在する」の証明
となっていることはよろしいでしょうか？
(2)ではそのために
detA=0のとき、AX=OとなるX（但しX≠O） (A)
を求める方針で証明しています。
A≠Oのときはa,b,c,dのうち少なくも一つは0ではありませんので
(d,-c),(-b,a) (B)
のうち、少なくとも一つは零ベクトルではないことがいえます。
つまり(B)のうち、少なくとも一方は(A)を満たすXであるということになります。

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