 | ■No24783に返信(keiさんの記事)
> 10^210/((10^10)+3)の整数部分の桁数と，1の位の数字を求めよ。ただし3^21=10460353203を用いても構わない。
>
>整数部分の桁数
log[10]{10^210/((10^10)+3)}=210-log[10]{10^10+3}
10<log[10]{10^10+3}<11
199<log[10]{10^210/((10^10)+3)}<200
∴10^210/((10^10)+3)は200桁
>1の位の数字
10^210/((10^10)+3)
={(10^10+3)-3}^21/((10^10)+3)
=Σ[k=0→21]{21Ck(10^10+3)^k*(-3)^(21-k)}/(10^10+3)
=Σ[k=1→21]{21Ck(10^10+3)^(k-1)*(-3)^(21-k)}+(-3)^21/(10^10+3)
=10N1+Σ[k=1→21]{21Ck*3^(k-1)*(-3)^(21-k)}+(-3)^21/(10^10+3)
=10N1+Σ[k=1→21]{(-1)^(k-1)*21Ck*3^20}+(-3)^21/(10^10+3)
=10N2+3^20-3^21/(10^10+3) [∵Σ[k=0→n](-1)^k*nCk=(1-1)^n=0]
=10N2+(10-1)^10-3^21/(10^10+3)
=10N3+1-3^21/(10^10+3)
3^21/(10^10+3)=10460353203/10000000003=1+460353200/10000000003
1<3^21/(10^10+3)<2
∴1の位の数字は9
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