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■24781 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ アイリーン 一般人(2回)-(2007/05/12(Sat) 11:05:43)
    数列{a[n]}があり、{a[n]}の初項から末項までの和は(a[n]+1/4)^2になるという。この数列{a[n]}の初項から第100項までのうち、一つだけが負で、残り全てが正であるという。第100項を求めなさい。


    この問題の解き方を詳しく教えてください。お願いします。
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■24785 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(177回)-(2007/05/12(Sat) 13:21:43)
    数列｛ａ[n]｝の初項から第ｎ項までの和を Ｓ[n] とすると，
    　　　Ｓ[n]＝(ａ[n]＋１/４)^2　…(Ａ)
    (Ａ) において，
    　　　ｎ＝１ のとき　Ｓ[1]＝(ａ[1]＋１］/４)^2
    　　　　　　　　　　　ａ[1]＝ａ[1]^2＋ａ[1]/２＋１/１６
    　　　　　　　　　　　１６ａ[1]^2−８ａ[1]＋１＝０
    　　　　　　　　　　　(４ａ[1]−１)^2＝０
    　　　　　　　　　　　∴ ａ[1]＝１/４
    　　　ｎ≧２ のとき　ａ[n]＝Ｓ[n]−Ｓ[n-1]
    　　　　　　　　　　　ａ[n]＝(ａ[n]＋１/４)^2−(ａ[n-1]＋１/４)^2
    　　　　　　　　　　　２ａ[n]^2−２ａ[n-1]^2−ａ[n]−ａ[n-1]＝０
    　　　　　　　　　　　(ａ[n]＋ａ[n-1])(２ａ[n]−２ａ[n-1]−１)＝０
    　　　　　　　　　　　∴ ａ[n]＋ａ[n-1]＝０…(Ｂ)　または　ａ[n]−ａ[n-1]＝１/２…(Ｃ)
    (Ｂ) が成り立つとすると　　ａ[n]＝−ａ[n-1]
    　　　これから
    　　　　　　　　　　　ａ[2]＝−１/４，ａ[3]＝１/４，ａ[4]＝−１/４，…
    　　　となるが，これは
    　　　　　　　　　　　数列｛ａ[n]｝の初項から第100項までのうち，一つだけが負で残り全てが正である
    　　　ことに反する．よって，(Ｂ) は不成立．
    (Ｃ) が成り立つとすると
    　　　数列｛ａ[n]｝は，初項 １/４，公差 １/２ の等差数列である．
    　　　したがって，
    　　　　　　　　　　　ａ[n]＝１/４＋(ｎ−１)/２
    　　　　　　　　　　　　　　＝(２ｎ−１)/４
    故に，
    　　　ａ[100]＝１９９/４
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■24814 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 数列
□投稿者/ だるまにおん ファミリー(165回)-(2007/05/13(Sun) 06:16:29)
    横から失礼します。

    ＫＧさんへ
    (Ｂ)か(Ｃ)の一方だけが成り立つのではありませんよ。

    ちなみに答は-197/4,195/4です。
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■24815 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 数列
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(180回)-(2007/05/13(Sun) 06:42:04)
    2007/05/13(Sun) 07:46:07 編集(投稿者)

    > ちなみに答は-197/4,195/4です。
    　なるほど，(Ｂ) だけでは条件を満たしていませんね．

    > ＫＧさんへ
    > (Ｂ)か(Ｃ)の一方だけが成り立つのではありませんよ。
    　もう少し詳しく言ってもらえますか．
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■24816 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 数列
□投稿者/ らすかる 大御所(683回)-(2007/05/13(Sun) 07:02:47)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    2007/05/13(Sun) 07:04:15 編集(投稿者)

    横レス
    例えば
    n=2 のときは(B)が成り立つ
    n=3 のときは(C)が成り立つ
    n=4 のときは(B)が成り立つ
    ・・・
    のような可能性があるということですね。
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■24817 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 数列
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(181回)-(2007/05/13(Sun) 07:15:41)
    > 例えば
    > n=2 のときは(B)が成り立つ
    > n=3 のときは(C)が成り立つ
    > n=4 のときは(B)が成り立つ
    > ・・・
    > のような可能性があるということですね。
    　なるほど，私が考えていたよりは面倒な問題ですね．
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■24818 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 数列
□投稿者/ らすかる 大御所(684回)-(2007/05/13(Sun) 07:45:15)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    横レスついでに…
    n≧2のそれぞれのnについて(B)または(C)が成り立つ必要がありますが、
    全部で(C)が成り立つとすると a[n]=(2n-1)/4 で全項が正となり不適なので、
    途中で(B)が成り立つ必要があります。
    n=2のときに(B)が成り立つ場合、n=3のときは(B)でも(C)でも同じくa[3]=1/4
    となり、以降の項がすべて正なのでn≧4では(C)が成り立つ必要があります。
    n=k (k=3〜99)のときに初めて(B)が成り立つ場合、１項だけが負になるためには
    n=k+1のときも(B)が成り立ち、それ以降は(C)が成り立つ必要があります。
    以上のように途中(n=k≧2とn=k+1)で(B)が成り立つ場合は、全部で(C)が成り立つ
    場合のa[n]=(2n-1)/4の途中、a[k-1]とa[k]の間に-a[k-1],a[k-1]の2項を
    挟んだ形になるため、n=100のとき {2×(100-2)-1}/4=195/4
    n=100のときに初めて(B)が成り立つ場合は
    a[100]=-a[99]=-(2n-1)/4=-197/4
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■24819 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 数列
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(182回)-(2007/05/13(Sun) 07:57:01)
    らすかるさん，よくわかりました．
    単純に等差数列としたところが失敗でした．
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