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■24780 / inTopicNo.1) 　不等式の証明
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□投稿者/ アイリーン 一般人(1回)-(2007/05/12(Sat) 10:55:00)
    a、bを正の実数とする。座標空間の4点P(0,0,0)、Q(a,0,0)、R(0,1,0)、S(0,1,b)が半径1の同一球面上にあるとき、P、Q、R、Sを頂点とする四面体に内接する球の半径をrとすれば、次の二つの不等式が成り立つことを示しなさい。

    ((1/r)-(1/a)-(1/b))^2≧20/3、1/r≧2√(2/3)+2√(5/3)

    どうやって考えて解けばいいのかが全然思いつきません。解き方を教えてもらえませんか？どうかお願いします。
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■24813 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん ファミリー(164回)-(2007/05/13(Sun) 05:56:39)
    P,Q,R,Sの乗っている半径1の球の中心OはO(a/2,1/2,b/2)
    OP^2=1より(a/2)^2+(1/2)^2+(b/2)^2=1　∴a^2+b^2=3　…♪

    四面体PQRSの体積をVとすると
    V=△RQR*RS*(1/2)*(1/3)=ab/6
    一方rを用いてVを表すと
    V=r*(△PQR+△PRS+△PQS+△QRS)*(1/3)=(r/6)*(a+b+a√(1+b^2)+b√(1+a^2))
    ∴ab/6=(r/6)*(a+b+a√(1+b^2)+b√(1+a^2))
    ∴1/r=1/a+1/b+√(1+a^2)/a+√(1+b^2)/b

    したがって
    (1/r-1/a-1/b)^2
    =(√(1+a^2)/a+√(1+b^2)/b)^2
    =2+3/(ab)^2+2√(1+4/(ab)^2)　(∵♪)
    ≧2+4/3+2√(1+16/9)　(∵♪に相加相乗を使うと1/(ab)^2≧4/9)
    =20/3

    1/r
    =1/a+1/b+√(1+a^2)/a+√(1+b^2)/b
    ≧2/√(ab)+√(20/3)
    ≧2√(2/3)+2√(5/3)

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