数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 整数の問題 / Page: 0]

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■24755 / inTopicNo.1)

　整数の問題

□投稿者/ detour 一般人(39回)-(2007/05/11(Fri) 01:27:36)

方程式(x^2)-2(y^2)=±1のうち、x+(√2)y＞0を満たす整数解(x,y)について、次の問いに答えなさい。

(1)N=x+(√2)yとおくとき、N＞1を満たす最小のNを求めなさい。

(2)(1)で求めたNをN0とする。すべての整数n(正の整数だけでないことに注意しなさい)に対して、N(N0)^nはX+(√2)Y(X、Yは整数)の形で表せることを示しなさい。

(1)からどうやって解けばいいのかわかりませんでした。(2)はnが負数の場合もあるので帰納法は使えそうにないですし・・・。詳しく教えていただけないでしょうか？どうかよろしくお願いします。

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■24788 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数の問題

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□投稿者/ ゼロファミリー(154回)-(2007/05/12(Sat) 14:44:57)

(1)x+√2yに関して、x≧1かつy≧1と置いて構わないことを示します。
まず、(x,y)=(n,0)(0,n)に関してはn=±1がx^2-2y^2=±1上の点ですが、N>1を満たさない為、以下|x|≧1,|y|≧1とします。

例えばx≦-1,y≧1の時、
x→-xと置くと、x≧1となり、|-x+√2y|=|(x^2-2y^2)/(x+√2y)|=1/(x+√2y)<1
よって不適

同様にx≧1,y≦1の場合も不適です。
以上のことから、x≧1かつy≧1。
x=y=1は方程式を満たすので、x=y=1が最小の数になります。
よってN=1+√2

(2)1/(1+√2)=√2-1を用いれば解けると思います。

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■24807 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数の問題

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□投稿者/ detour 一般人(40回)-(2007/05/13(Sun) 00:21:31)

To ゼロ様

回答をどうもありがとうございました。いくつか質問させてください。

＞x+√2yに関して、x≧1かつy≧1と置いて構わないことを示します。

構わない理由は理解できましたが、どうしてゼロ様はそのことに気づくことができたのですが？何をやっているのかではなく、なぜそうするのか、がどうもわかりません。

＞2)1/(1+√2)=√2-1を用いれば解けると思います。

どうも解けそうにないです。大変申し訳ないですが、こちらも教えていただけないでしょうか？どうかお願いします。

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■24855 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数の問題

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□投稿者/ ゼロファミリー(157回)-(2007/05/14(Mon) 08:53:09)

>構わない理由は理解できましたが、どうしてゼロ様はそのことに気づくことができたの
>ですが？何をやっているのかではなく、なぜそうするのか、がどうもわかりません

動機としては、x,yに負の数が入ると評価が厄介だったので、取り除きたかった
からです。そのために有理化の手法を用いました。
x,yが両方とも正の領域に限定されれば、評価はしやすくなります。

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■24885 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 整数の問題

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□投稿者/ detour 一般人(41回)-(2007/05/15(Tue) 06:50:36)

To ゼロ様

お答えいただき、どうもありがとうございました。(1)については理解できました。(2)の方も教えていただけないでしょうか？どうかお願いします。

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■24886 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 整数の問題

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□投稿者/ ゼロファミリー(161回)-(2007/05/15(Tue) 08:41:53)

(2)まずnが負の場合ですが、n→-nと取り直すことにより、n>0となり、
　(1+√2)^(-n)=(√2-1)^nとなります。
　あとは(√2±1)^nがn>0に対して、X+(√2)Yとなることを示せば十分です。
　二項定理で展開すると、
　(√2±1)^n=∑2^(k/2)(±1)^(n-k)

=√2∑2^k(±1)^(n-2k-1) + ∑2^k(±1)^(n-2k)

X=∑2^k(±1)^(n-2k-1),Y=∑2^k(±1)^(n-2k)と置けばこれらは整数です。

　よって示せました。

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■24935 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 整数の問題

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□投稿者/ detour 一般人(42回)-(2007/05/16(Wed) 20:16:51)

To ゼロ様

回答、どうもありがとうございました。二項定理の展開のところにちょっと質問があります。

＞二項定理で展開すると、
　(√2±1)^n=∑2^(k/2)(±1)^(n-k)

=√2∑2^k(±1)^(n-2k-1) + ∑2^k(±1)^(n-2k)

のところですが、ここが何をやっているのかちょっとわかりません。ここをもう少し解説していただけないでしょうか。どうかお願いします。

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■24948 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 整数の問題

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□投稿者/ ゼロファミリー(163回)-(2007/05/17(Thu) 16:26:00)

2007/05/17(Thu) 16:28:03 編集(投稿者)

すみません。Combination termが抜けていました。

(√2±1)^n=∑n_C_k・2^(k/2)(±1)^(n-k)

ここまでは宜しいでしょうか?
√2の偶数乗は整数になりますが、√2の奇数乗は√2×整数となります。
よって、√2のべき乗の偶奇性で場合わけしたのが、

=√2∑n_C_(2k+1)・2^k(±1)^(n-2k-1) + ∑n_C_(2k)・2^k(±1)^(n-2k)

式です。

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■24975 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 整数の問題

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□投稿者/ detour 一般人(43回)-(2007/05/18(Fri) 04:50:24)

To ゼロ様

回答ありがとうございます。

＞(√2±1)^n=∑n_C_k・2^(k/2)(±1)^(n-k)

ここは二項定理を考えればわかります。でもその下の、

＞=√2∑n_C_(2k+1)・2^k(±1)^(n-2k-1) + ∑n_C_(2k)・2^k(±1)^(n-2k)

のところが、どうしてこうなるのかがどうしてもわかりません。ここの変形を、どうしてこうなるのか教えていただけないでしょうか。お願いします。

ところで確認させていただきたいのですが、∑はk=0からk=nまででよろしいでしょうか？

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