 | ■No24660に返信(maxiさんの記事)
> a1=1,an+1=2+1/anについて
> 1）αを α＝2+1/α, α>0の解とすると│an-α│<=│an-1 - α│/2α
│a[n+1]-α│=｜2+1/a[n]-(2+1/α)｜=｜1/a[n]-1/α｜
=｜(α-a[n])/(αa[n])｜
ここで、漸化式より a[n]＞2 よって、
｜(α-a[n])/(αa[n])｜＜｜(α-a[n])/(2α)｜＝｜a[n]-α｜/(2α)
以上より、│a[n]-α│≦│a[n-1]-α│/2α。
> 2) lim[n→∞]an=αを示せ
│a[n]-α│≦│a[n-1]-α│/2α≦│a[n-2]-α│/(2α)^2≦…≦│a[1]-α│/(2α)^(n-1)
すなわち
0≦│a[n]-α│≦│1-α│/(2α)^(n-1)
はさみうちの原理より、lim[n→∞]│1-α│/(2α)^(n-1) = 0
よってlim[n→∞]│a[n]-α│= 0
すなわちlim[n→∞] a[n]=α。
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