 | ■No24658に返信(ジョーカーさんの記事)
>  に点A(2,6)から異なる２本の接線が引けて接点をそれぞれP,Qとすると直線PQの傾きが2である時aの値を求めよ。
f(x)=-x^2+ax-4, 接点を(t,f(t))とおく。f'(x)=-2x+a より
接線の式は y=f'(t)(x-t)+f(t) で、y=(-2t+a)x+t^2-4 …①
①が点(2,6)を通るので代入して、t^2-4t+2a-10=0 …②
②について、接線２本⇔接点２個⇔異なる２実数解をもつ⇔判別式D＞０
より、D/4 = 14-2a＞0 すなわち a＜7 …③を満たさなければならない。
ここで解と係数の関係より、②の解をα,βとおくと、α+β= 4 …④で
接点P,Qの座標は(α,f(α)),(β,f(β))となる。
このときPQの傾きは、④より (f(β)-f(α))/(β-α) = a-4 = 2
よって、a = 6 (③を満たしている)。
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