 | 2007/05/08(Tue) 19:42:49 編集(投稿者)
■No24656に返信(通りすがり！さんの記事)
> 三角形OABの周または内部に点Pがあり
> 2 ・ = ・+||^2
> が成り立つ時、
> （１）Ｐはどのような図形を描くか
2OP・OB=OA・OB+OB・OB より、(2OP-OA-OB)・OB = 0、(OP-(OA+OB)/2)・OB = 0
(OA+OB)/2=OM とおくと、点Mは線分ABの中点で、(OP-OM)・OB = 0、MP・OB = 0
これは MP⊥OBを表す。
よって点Pは点MからOBに垂線を下ろしその足を点Nとおいたときの、線分MNを描く。
> （２）OA=3,OB=4,cos∠AOB=1/3である時
> （ⅰ）Ｐの動く範囲の長さを求めよ
△OAB余弦定理より、AB=√17。このときAM=√17/2 で
中線定理 OA^2+OB^2=2(OM^2+AM^2) から OM^2=33/4。
直角三角形OMN、BMNについて、ON=x とおくと NB=4-x で
OM^2-ON^2=MB^2-NB^2 より、x=ON=5/2, NB=3/2。
よって、MN=√(OM^2-ON^2)=√2。
> （ⅱ）|+ + |の最小値、およびその時のを、を用いて表せ
｜OP+AP+BP｜=｜OP+OP-OA+OP-OB｜=｜3OP-OA-OB｜
= 3｜OP-(OA+OB)/3｜= 3｜OP-2/3・(OA+OB)/2｜= 3｜OP-2/3・OM｜
2/3・OM=OQ とおくと、与式 = 3｜OP-OQ｜= 3｜QP｜…①
QP最小のとき、点Pは点Qから線分MNに下ろした垂線の足になる。
よって、①の最小値は、PQ = ON/3 = 5/6 より、3｜QP｜= 5/2。
このとき OP = OQ+1/3・ON = (OA+OB)/3 + 1/3・(5/8・OB) = 1/3・OA + 13/24・OB。
(2)(i) 別解(というか本解？)
ON=tOB とおいて、MN = ON-OM = tOB-(OA+OB)/2 = (t-1/2)OB-1/2・OA
MN⊥OB より、内積 MN・OB=0 として t を求めます。
|
