 | 2007/05/07(Mon) 12:23:58 編集(投稿者)
F(t)={∫[0,πt/2]|cos2x|dx}/t (A)
とします。
(1)
>>(1)は下端と上端が一致するので答えは0となるはずなので解けました。
解けていません。t→0のとき、(F(t)の分母)→0になりますので。
(A)において2x=uと置くと
F(t)={(1/2)∫[0,πt]|cosu|du}/t (A)'
ここでt→0を考えますので、t<1/2としても問題ありません。
このとき(A)'は
F(t)={(1/2)∫[0,πt]cosudu}/t
={(1/2)sin(πt)}/t
∴lim[t→0]F(t)=π/2
(2)
(A)'から
(i)0<t≦1/2のとき
F(t)={(1/2)sin(πt)}/t
(ii)1/2<t≦1のとき
F(t)={(1/2)∫[0,π/2]cosudu}/t-{(1/2)∫[π/2,πt]cosudu}/t
=(1/2)/t-(1/2)(sinπt-1)/t
=(1/2)(2-sinπt)/t
後は(i)(ii)について場合分けして、tの不等式
F(t)≧1
を解けばよいわけですが、これは解析的に求められる値にはなりません。
（解が存在することは証明できますが）。
問題文にタイプミスはありませんか？。
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