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■24554 / inTopicNo.1)  定積分の問題
  
□投稿者/ ruke 一般人(1回)-(2007/05/06(Sun) 02:45:33)
    定積分の問題で、どうしてもわからないものが2問あります。

    1
    ∫[-1→1]dx/(√(2-x^2))

    不定積分の公式通りに、アークサイン(記述方不明)の形にし、アークサインが偶関数(ですよね?)であることから、2アークサイン1/√2としました。
    しかし、そこからどうやっても解答のπ/2に辿りつけません。
    サインπ/2=2アークサイン1/√2ではないですよね。もしそうだとしたら、詳しい説明をお願いします。アークがつくものは苦手なもので。

    2
    ∫[-1→0](2/(√(x^2+3)))dx

    こちらに関しては、最初から皆目見当がつかないのです。
    解答がlog3となっているので、公式を使えるはずなのですが、分子が1ではなく2であるためどうやって使ったら良いのかわかりません。

    今日中に理解しないと困るので、できるだけ早めにお願いします。
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■24556 / inTopicNo.2)  Re[1]: 定積分の問題
□投稿者/ N ベテラン(209回)-(2007/05/06(Sun) 06:26:58)
    置換積分法というやり方を使うのではないかと。


    アークサインとか、全く関係ない解き方になりますけど、
    x=√2sinθとおきます。
    するとdx=√2cosθ*dθで積分範囲は-π/4→π/4ですね。
    すると∫[-1→1]dx/(√(2-x^2))=∫[-π/4→π/4]{√2cosθ/√2(1-sin^2θ)}dθ=∫[-π/4→π/4]{√2cosθ/√2cosθ}dθ=∫[-π/4→π/4]dθとなりますね。
    後は大丈夫なのでは?


    こちらは、まずはx=√3tanθとおきます。するとdx=√3/cos^2θ*dθ、積分範囲は[-π/6→0]、√(x^2+3)=√3/cos^2θとなります。
    で、これでやってくと、おそらく∫[-π/6→0]2/cosθ*dθとなると思うので、次に∫[-π/6→0]2/cosθ*dθ=∫[-π/6→0](2cosθ/cos^2θ)*dθ=∫[-π/6→0]{2cosθ/(1-sin^2θ)}*dθとして、sinθ=tとおいて考えると、上手くいくかと思います。
    ちょっと複雑な計算ですが、がんばってみてください。
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■24558 / inTopicNo.3)  Re[2]: 定積分の問題
□投稿者/ ruke 一般人(2回)-(2007/05/06(Sun) 09:26:36)
    返信ありがとうございます。
    置換積分法ですか。
    問題がのっていた箇所が置換積分法の説明前だったので、他の方法があると思うのですが……。
    置換積分法はまだ不定積分しか解き方を習っておらず、定積分は解き方がよくわからないのです。
    何とかやってみようとは思いますが、できれば他の方法をお願いできないでしょうか。
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■24560 / inTopicNo.4)  Re[3]: 定積分の問題
□投稿者/ ruke 一般人(3回)-(2007/05/06(Sun) 10:23:23)
    2問目、2を外に出したところ、公式を使って何とか解くことができました。
    1問目は、置換積分法を試そうにも教科書の例題だけではうまく理解できず、未だ解けていません。
    引き続きよろしくお願いします。
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■24566 / inTopicNo.5)  Re[4]: 定積分の問題
□投稿者/ ruke 一般人(4回)-(2007/05/06(Sun) 11:06:36)
    色々と電卓を使って計算したところ、どうやらsinπ/2=2asin1/√2らしいことがわかりました(アークサインの記述はこれでいいのでしょうか)。
    しかし、どうにもよくわからないのが、2asin1/√2がπ/2になることです。
    asin1/√2がπ/4であるから、それを二倍すればπ/2になることはわかるのですが。2asin1/√2をasin〜の形にすると、asin2/√2ではないのでしょうか。
    分子が√2なら成立するようですが、なぜ√が出てくるのかわかりません。
    何度も質問の内容を変えた上に、いつの間にか定積分とは関係ない質問になってしまい申し訳なく思いますが、これで最後です。
    どなたか詳しい説明をお願いします。
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■24572 / inTopicNo.6)  Re[5]: 定積分の問題
□投稿者/ N ベテラン(210回)-(2007/05/06(Sun) 11:30:36)
    rukeさんの仰る公式というのはどのようなものなのでしょうか?
    ちょっと書いてもらえますか?

    置換積分に関しては、不定積分のやり方に、積分範囲を加えただけです。
    x=√2sinθにおいて、xは-1から1まで変化したのですよね?
    するとθはxの変化に伴ってどう変化するのか?を考えるのです。
    x=-1の時は、sinθ=-1/√2だから、θ=-π/4です。
    x=1の時は、sinθ=1/√2だから、θ=π/4ですね。
    すると、xが-1から1までの積分範囲の時、θは-π/4からπ/4に対応するということで、これがθとおいた時の新たな積分範囲になるわけです。
    あとは不定積分の時と同じです。
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■24595 / inTopicNo.7)  Re[6]: 定積分の問題
□投稿者/ ruke 一般人(5回)-(2007/05/06(Sun) 17:04:29)
    使用した公式は、
    ∫dx/√(x^2+A)=log|x+√(x^2+A)|+C (A≠0)
    というものです。
    それと、定積分の置換積分についての説明ありがとうございます。
    もっと複雑なものかと思っていました。
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