数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 数列の極限 / Page: 0]

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■24552 / inTopicNo.1)

　数列の極限

□投稿者/ digi 軍団(141回)-(2007/05/06(Sun) 01:56:04)

任意の正数 $2$\varepsilon$ に対して， $2$n>N$ のとき $2$|a_n-\alpha|<\varepsilon$ が成り立つような自然数 $2$N$ が存在するとき，数列 $2$\{a_n\}$ は $2$\alpha$ に収束する

というのが数列の極限なのですよね？いろいろHPを見ていると
$2$n>N$ のとき $2$|a_n-\alpha|<\varepsilon$
の不等号がイコールが入っていたりいなかったりで、実際、どちらが正しいのでしょうか？

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■24553 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(667回)-(2007/05/06(Sun) 02:32:13)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

どっちの不等号ですか？

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■24629 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(142回)-(2007/05/07(Mon) 00:13:09)

http://www.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/06/biseki4a-060515.pdf

こちらのページは大学の教授の方がかかれたものと思われます。
このページの2ページ目の少し補足説明というところに、

>ここはどちらも（または片方）を…

とありますが、等号の有無は厳密に決められてないのでしょうか？

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■24632 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(668回)-(2007/05/07(Mon) 03:56:52)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

等号を入れても同値なので、どちらも正しいですし、
どちらを書いても問題ないと思います。

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■24662 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(144回)-(2007/05/07(Mon) 22:59:42)

片方だけに等号を入れた場合も、同値になるのですか？

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■24678 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(672回)-(2007/05/08(Tue) 04:56:13)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

なりますよ。

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■24698 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(145回)-(2007/05/08(Tue) 22:09:20)

どうしてですか？

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■24703 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(673回)-(2007/05/09(Wed) 04:00:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

n≧N のとき |an-α|＜ε ⇒ n＞N のとき |an-α|＜ε は明らか
逆は
n＞N のとき |an-α|＜ε ⇒ n≧N+1 のとき |an-α|＜ε であり
Nが存在すればN+1も存在するから、このN+1をあらためてNとすれば
n≧N のとき |an-α|＜ε

n＞N のとき |an-α|＜ε ⇒ n＞N のとき |an-α|≦ε は明らか
逆は
任意の正数εに対して n＞N のとき |an-α|≦ε が成り立つならば
任意の正数を ε/2 にすれば n＞N のとき |an-α|≦ε/2
このとき n＞N のとき |an-α|＜ε

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■24731 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(146回)-(2007/05/10(Thu) 01:45:37)

最後がちょっと分かりません。

> 任意の正数εに対して n＞N のとき |an-α|≦ε が成り立つならば
> 任意の正数を ε/2 にすれば n＞N のとき |an-α|≦ε/2
> このとき n＞N のとき |an-α|＜ε

εは任意の正数ですが、ε/2にしてしまうと|an-α|≦εが成り立っても|an-α|≦ε/2が成り立つとは限らないのではないですか？

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■24732 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(679回)-(2007/05/10(Thu) 04:49:30)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

どんな正数に対してもn＞Nのとき|an-α|≦(その正数)が成り立つようなNが
存在するのですから、この正数をε/2としても、式が成り立つようなNが
存在するわけです。そうすると
「任意の正数ε/2に対してn＞Nのとき|an-α|≦ε/2となるNが存在する」
わけで、このとき
「任意の正数εに対してn＞Nのとき|an-α|＜ε」
となっていますね。

理解しにくいかも知れませんので、もう一度同じことを別の言い方で書きます。

任意の正数に対してn＞Nのとき|an-α|≦(その正数)が成り立つようなNが
存在するわけですから、任意の正数εがあったときにその半分のε/2をとって
これを「任意の正数」にあてはめたとしても、それに対して
n＞Nのとき|an-α|≦ε/2
が成り立つNが存在するわけです。
そうすると、εに対しては
n＞Nのとき|an-α|＜ε
が成り立っていますね。

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■24750 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(147回)-(2007/05/10(Thu) 22:19:41)

Nとεは対応関係にありますよね？
でもこの場合、ε/2をεと置き換えたときでもNは同じNなのですよね？

あともうひとつお尋ねしたいことがあるのですが、
lim[n→∞]a_n=α, lim[n→∞]b_n=βのとき、lim[n→∞](a_n+b_n)=α+β
の証明の仕方を教えていただけますか？

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■24751 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 数列の極限

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□投稿者/ らすかる大御所(681回)-(2007/05/10(Thu) 23:20:43)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

Nとεは対応はしますが、εに対してとれるNは無数にあります。
ε/2をεに置き換えたときもとれるNは無数にありますが、
|an-α|≦ε/2 よりも |an-α|＜ε の方が条件が緩いですから、
より小さいNがとれる可能性がありますね。
（小さく出来ない場合もありますが、|an-α|≦ε/2 のときに
　使えたNが使えなくなることはありません）

＞lim[n→∞]a_n=α, lim[n→∞]b_n=βのとき、lim[n→∞](a_n+b_n)=α+β

lim[n→∞]a_n=α ⇔ 任意の正数εに対してn＞N1のとき|a_n-α|＜ε/2
lim[n→∞]b_n=β ⇔ 任意の正数εに対してn＞N2のとき|b_n-β|＜ε/2
N1,N2のうち小さくない方をNとすれば
　任意の正数εに対してn＞Nのとき|a_n-α|＜ε/2
かつ
　任意の正数εに対してn＞Nのとき|b_n-β|＜ε/2
なので、
　任意の正数εに対してn＞Nのとき|a_n+b_n-(α+β)|≦|a_n-α|+|b_n-β|＜ε
よって
　lim[n→∞](a_n+b_n)=α+β

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■24775 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 数列の極限

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□投稿者/ digi 軍団(148回)-(2007/05/11(Fri) 23:51:39)

細かく説明していただきありがとうございました！

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