 | f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
f(0)=0
f(1)=αとする。
f(x)=f(Σ[k=1→n](x/n))
=f(x/n)+f(Σ[k=1→n-1](x/n))
=2f(x/n)+f(Σ[k=1→n-2](x/n))
=…
=nf(x/n)
∴f(x/n)=f(x)/n …①
n→m,x/n→xと置き換えると
f(mx)=mf(x) …②
①、②より
f(m/n)=mf(1/n)=(m/n)f(1)=α(m/n)
したがって、
全ての有理数xについて f(x)=αx が成り立つ。
1/[1/(b-a)+1]<1/{1/(b-a)}=b-a { [ ]はガウス記号 }
であるから、任意の開区間(a,b)={x|a<x<b}に有理数を含む。
連続性の定義から、
任意の正数εに対して
全ての無理数xについてある正数δが存在して、
|x-y|<δ
である有理数yを用いて
|f(x)-f(y)|<ε が成り立つ。
lim[y→x]f(y)=αx
全ての無理数xについて f(x)=αx が成り立つ。
したがって、
実数全体でf(x)=αx が成り立つ。
↑数学版D/A 変換器?w
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