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■24427 / inTopicNo.1)

　大学の極限の問題です

□投稿者/ Tom 一般人(1回)-(2007/05/02(Wed) 22:52:45)

2007/05/02(Wed) 22:54:19 編集(投稿者)
2007/05/02(Wed) 22:54:17 編集(投稿者)

問題
① $2$\lim\limits_{n \to \infty }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e$ を示せ。

②Dirichletの関数は
$2$\lim\limits_{n \to \infty } \left(\lim\limits_{m \to \infty } \left(\cos (n!\pi x) \right)^m\right)$
で表されることを示しなさい。

一行目から思いつきません。お願いします。

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■24430 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 大学の極限の問題です

▲▼■

□投稿者/ 白拓大御所(739回)-(2007/05/03(Thu) 05:36:12)

2007/05/03(Thu) 05:58:05 編集(投稿者)

①
log{n/[n]√n!}=logn-Σ[k=1→n](logk)/n
=Σ[k=1→n](logn)/n-Σ[k=1→n](logk)/n
=-Σ[k=1→n](logk-logn)/n=-Σ[k=1→n]log(k/n)/n

lim[n→∞]log{n/[n]√n!}=lim[n→∞]-Σ[k=1→n]log(k/n)/n
=-lim[ε→0]∫[ε～1]logxdx=1

∴lim[n→∞]n/[n]√n!=e

②↓に証明つきで載っています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0

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■24437 / inTopicNo.3)

▲▼■

□投稿者/ soredeha 一般人(5回)-(2007/05/03(Thu) 08:11:12)

グラフから
∫[1,n]logxdx＜log1＋・・＋logn＜∫[1,n＋1]logxdx
nlogn-(n-1)＜log1＋・・＋logn＜(n＋1)log(n＋1)-n
logn-(1-1/n)＜(log1＋・・＋logn)/n＜(1＋1/n)log(n＋1)-1
-(1-1/n)＜(log1＋・・＋logn)/n-logn＜(1＋1/n)log(n＋1)-1-logn
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝log(n＋1)-logn＋(1/n)log(n＋1)-1
　　　　　　　　　　　　　　　　＝log(1＋1/n)＋{(n＋1)/n}log[n＋1]√(n＋1)-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　→ -1 ( n → ∞ )

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■24442 / inTopicNo.4)

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□投稿者/ Tom 一般人(3回)-(2007/05/03(Thu) 11:58:45)

ありがとうございました。よく分かりました。

解決済み!

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