数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 正整数解 / Page: 0]

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■24407 / inTopicNo.1)

　正整数解

□投稿者/ Ami-S 一般人(1回)-(2007/05/02(Wed) 05:52:56)

2以上の整数nに対して方程式x[1]+x[2]+・・・+x[n]=x[1]x[2]・・・x[n]の正の整数解を考える。ただし、たとえば（1,2,3）と（3,2,1）は異なる解とみなす。このとき、次の問いに答えよ。
(1)n=2, 3のときに解を求めよ。
(2)解が1つしかないようなnをすべて求めよ。
(3)任意のnに対して解は少なくとも1つ存在し、かつ有限個しかないことを示せ。

(1)のn=2の場合は、因数分解できたので、(x,y)=(1,1)とすぐにわかりました。でもn=3は因数分解できなくて分りませんでした。(2)以降はもう難しすぎてどうやって考えていけばいいのか全然分りませんでした。

詳しい解説を、どうか願いします。

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■24409 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 正整数解

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□投稿者/ ゼロ軍団(142回)-(2007/05/02(Wed) 09:15:15)

2007/05/02(Wed) 09:16:59 編集(投稿者)

(1)に関してはもう少し考えてみて下さい。ちなみに(1,1)は解ではありません。

(2)これは全てのx[k]が等しいことを意味します。その値をaと置くと、　
　na=a^n 整理して、n=a^(n-1)
nに関する関数と見てy(n)=a^(n-1)-nをnで微分します。
　すると、y'=log(a)a^(n-1)-1

　a≧3の時log(a)a^(n-1)-1>0。よってa≧3の場合はy(n)は単調増加関数です。
　y(2)=a-2>0より、n≧2に対して、y(n)>0
よってn=a^(n-1)は成立しません。

a=2の時はn=2^(n-1)です。これも同様の方法で検証すればn=2しか成立しないことが
　分かります。よってn=2です。

　a=1の時
　n=1となり、不適です。

(3)
　解の存在
　x[1]～x[n-2]=1とおきます。
　x[n-1]=x,x[n]=yとおきます。
　すると、n-2+x+y=xy
変形して、(x-1)(y-1)=n-1
n-1を因数分解すれば、解が得られます。
　よって解は存在します。

解の有限性
適当に順序を並び替えて、x[n]を最も大きい数とします。
　この時、Π_{1～n}x[k]≦nx[n]
x[n]で両辺を割って
　Π_{1～n-1}x[k]≦n
　よって、x[1]～x[n-1]の組合せは有限個しかありません。
　x[n]は方程式より一意に定まるので、解の組合せも有限になります。

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■24410 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 正整数解

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□投稿者/ らすかる大御所(662回)-(2007/05/02(Wed) 09:40:46)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2007/05/02(Wed) 09:42:12 編集(投稿者)

＞ゼロさん

もし私の勘違いでしたら申し訳ないですが、

ある最大のx[n]に対してx[1]～x[n-1]の組合せが有限個しかないのは
自明（最大x[n]^(n-1)通り）ですが、もし最大のx[n]がいくらでも大きくなれるなら
無限個になるので、解が有限個であることの証明になっていないような気がします。

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■24412 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 正整数解

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□投稿者/ ゼロ軍団(143回)-(2007/05/02(Wed) 09:50:43)

>らすかるさん

ご指摘ありがとうございます。　
Π_{1～n-1}x[k]≦nより、x[1]～x[n-1]の組合せは有限個です。また
各x[1]～x[n-1]の値はx[n]の値とは独立にnにより抑えられます。

あとはx[n]=Σ_{1～n-1}x[k]/(Π_{1～n-1}x[k]-1)
により、x[n]の値が確定するので、x[n]の値が無限になることは有り得ません。

そういう意味で、「x[n]は方程式より一意に定まるので、解の組合せも有限になります。
」と書きました。

言葉足らずだったでしょうか?

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■24413 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 正整数解

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□投稿者/ らすかる大御所(663回)-(2007/05/02(Wed) 09:56:16)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2007/05/02(Wed) 09:57:09 編集(投稿者)

すみません、わかりました。
横から失礼致しました。

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■24508 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 正整数解

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□投稿者/ Ami-S 一般人(1回)-(2007/05/04(Fri) 23:25:49)

ゼロ様へ

回答ありがとうございます。

(1)は(2,2)でしたね。間違えていました。

(2)と(3)ですが、どうもゼロ様が何をおやりになっているのかが理解できません。もしかして高校の内容を超えているのでしょうか？