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■24403 / inTopicNo.1) 　条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
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□投稿者/ そばわんこ 一般人(34回)-(2007/05/02(Wed) 02:30:25)
    練習140(p110)
    正の実数x,yがx+y=2を満たす時、xyの取りうる範囲を求めよ。
    次に(1/x^2*y^2)+p{(1/x^2)+(1/y^2)}の最小値を求めよ。

    最初のxyの範囲は0<xy≦1と求める事ができました、
    しかし次の問いは解説を読んでもよく分かりませんでした。
    どなたか解説を宜しければお願いします。
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■24405 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ 白拓 大御所(735回)-(2007/05/02(Wed) 02:50:49)
    pはどのように定義されていますか？
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■24406 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(36回)-(2007/05/02(Wed) 04:47:58)
    pについては何も書かれていません。
    解説を見ると式が整理され、1/xy＝tとおかれて、
    Y=(4p+1)t^2-2ptとされ、平方完成された後、

    (ⅰ）4p+1<0の時・・・・などと場合分けされています。
    平方完成の後が全く分かりません、よろしくお願いします。
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■24414 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ X ベテラン(214回)-(2007/05/02(Wed) 10:57:58)
    2007/05/02(Wed) 12:26:32 編集(投稿者)
    2007/05/02(Wed) 11:01:49 編集(投稿者)

    1/(xy)=t
    と置くと(1)の結果より
    1≦t (A)
    で
    Y=1/{(x^2)(y^2)}+p{(1/x^2)+(1/y^2)}
    と置くと
    Y=(4p+1)t^2-2pt (B)
    よって問題は(A)の範囲でtの関数(B)の最小値を求めることに帰着します。
    ここまではよろしいですか？。

    この後ですが
    4p+1≠0のとき
    (B)はtの２次関数となりますので、横軸にtを取った(B)のグラフが
    上に凸か下に凸か
    つまり
    (i)4p+1<0
    (ii)4p+1>0
    で場合分けする必要があります。
    (i)のとき
    最小値は存在しません。
    (ii)のとき
    (B)は
    Y=(4p+1)t^2-2pt
    =(4p+1){t-p/(4p+1)}^2-(p^2)/(4p+1)
    ∴(B)のグラフの軸は
    t=p/(4p+1)=1/4-1/(4p+1)<1/4
    これは(A)の範囲外左側にありますので
    (B)はt=1のときに最小となり
    最小値は2p+1となります。

    (iii)4p+1=0つまりp=-1/4のとき
    (B)は
    Y=t/2
    ですのでYはt=1のとき最小値1/2を取ります。

    以上をまとめると
    -1/4≦pのとき最小値は2p+1(このときx=y=1)
    p<-1/4のとき最小値は無し
    となります。
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■24416 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(38回)-(2007/05/02(Wed) 19:26:24)
    2007/05/02(Wed) 23:08:13 編集(投稿者)

    返信ありがとうゴザイマス、大体は分かりました！！

    しかし、
    t=p/(4p+1)=1/4-1/(4p+1)<1/4
    というのが良くわかりません1/4-1/(4p+1)というのは何処から来たのですか？
    たびたび申し訳ありませんが解説お願いします。
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■24418 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(40回)-(2007/05/02(Wed) 20:22:41)
    すいません、後、解説の

    Y=(1/x^2y^2)+p{(1/x^2)+(1/y^2)}
    =(4p+1/x^2y^2)-(2p/xy)

    の過程が分からず混乱しています。
    過程を教えてくださらないでしょうか。
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■24428 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ 白拓 大御所(737回)-(2007/05/03(Thu) 04:18:15)
    > Y=(1/x^2y^2)+p{(1/x^2)+(1/y^2)}
    > =(4p+1/x^2y^2)-(2p/xy)
    >の過程が分からず混乱しています。

    部分分数分解しましょう。
    y=2-x
    1/(xy)=1/{x(2-x)}=(1/2)(x+2-x)/{x(2-x)}
    =(1/2){1/(2-x)+1/x}=(1/2){1/x+1/y}

    1/(xy)^2={(1/2){1/x+1/y}}^2=(1/4){1/x^2+1/y^2+2/(xy)}
    ∴{(1/x^2)+(1/y^2)}=4/(xy)^2-2/(xy)

    Y=(1/x^2y^2)+p{(1/x^2)+(1/y^2)}
    =1/(xy)^2+p{4/(xy)^2-2/(xy)}=(4p+1)/(xy)^2-2p/(xy)
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■24429 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(42回)-(2007/05/03(Thu) 05:22:20)
    2007/05/03(Thu) 05:23:10 編集(投稿者)

    白拓さん返信ありがとうございます、自分でも解いたところぴったし一致しました。

    しかし、一行目の
    1/{x(2-x)}=(1/2)(x+2-x)/{x(2-x)}
    というのはこうも簡単に頭から出てくるのですか？
    自分にはとても思い浮かびそうにないのですが、公式でもあるのでしょうか？

    後、どなたか24416の内容が今でもわからないので解説してくださるとうれしいです。
    度々すいません。
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■24432 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ 白拓 大御所(741回)-(2007/05/03(Thu) 06:08:07)
    > 自分にはとても思い浮かびそうにないのですが、公式でもあるのでしょうか？
    a≠bのとき、
    1/{(x+a)(x+b)}
    =(1/(a-b)){(x+a)-(x+b)}/{(x+a)(x+b)}
    ={1/(x+a)-1/(x+b)}/(a-b) と変形できます。
    よく出てくる形なので慣れればすぐ出来るようになると思います。


    > 後、どなたか24416の内容が今でもわからないので解説してくださるとうれしいです。
    これも上と同じようにできますね。
    p/(4p+1)=(1/4)(4p+1-1)/(4p+1)
    =(1/4)(4p+1)/(4p+1)-(1/4)/(4p+1)=1/4-1/{4(4p+1)}
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■24433 / inTopicNo.10) 　Re[8]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(43回)-(2007/05/03(Thu) 06:14:57)
    2007/05/03(Thu) 06:21:00 編集(投稿者)

    白拓さん、返信ありがとうございます。

    しかし、p/4p＋1がどういう1/{(x+a)(x+b)}という形になっているのかが分かりません。

    後、その公式について詳しく知りたいので、
    よろしければなんという名前がついているのか教えてくれませんか？
    後で問題集や教科書で確認したいので・・・


    どうかよろしくお願いします。
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■24434 / inTopicNo.11) 　Re[10]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ 白拓 大御所(743回)-(2007/05/03(Thu) 06:38:04)
    >>これも上と同じようにできますね。
    > p/4p＋1がどういう1/{(x+a)(x+b)}という形になっているのかが分かりません。

    いや、1/{(x+a)(x+b)}という形になっているわけではないんですが、
    分子をいじくって式を変形するところが、上と似ているという意味で書きました。

    ｢部分分数分解とは、有理式（あるいは分数式ともいう、多項式の商で表される式のこと）に対し、その有理式の分母が多項式の積で表されるとき、その有理式を多項式と複数の有理式（ただし、分子の次数は分母の次数より小さい）の和で表すことをいう。｣
    　とウィキペディアにあるので部分分数分解の一種だと思います。

    分子を分母で割って商と余りを出しても変形できます。
    　p÷(4p＋1)→商1/4, 余り-1/4
    p/(4p＋1)=1/4+(-1/4)/(4p＋1)
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■24436 / inTopicNo.12) 　Re[11]: 条件付の二次関数の最大・最小（数学Ⅰ）
□投稿者/ そばわんこ 一般人(44回)-(2007/05/03(Thu) 07:53:22)
    なるほど部分分数分解ですか、初めて知りました。
    チャート式や教科書には乗ってなかったのですが、やはり大学入試には必要なんでしょうね。

    白拓さん、今まで分かりやすい返信どうもありがとうございました。
解決済み!
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