数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 偏微分の問題 / Page: 0]

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■24373 / inTopicNo.1)

　偏微分の問題

□投稿者/ わんわん一般人(43回)-(2007/04/30(Mon) 23:26:43)

3次元空間内で　　S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),　　　(u,v)はDに含まれる

の形で表される曲面を考える。ただし、Dはパラメーター(u,v)の動く2次元平面の領域である。このとき、Sの面積はμ(S)は

μ(S)=∫√{(dx/du*dy/dv-dy/du*dx/dv)^2+(dy/du*dz/dv-dz/du*dy/du)^2+(dz/du*dx/dv-dx/du*dz/dv)^2}dudv

で与えられる。これを用いて曲面Sがz=f(x,y){(x,y)はDに含まれる}で与えられるときは

μ(S)=∫√{(1+fx(x,y)^2＋fy(x,y)^2}dxdy　　であることを示せ。

なんですがすいません解法をお願いいたします。
また一部dx等を本当はラウンドであらわさないといけないんですけど、ラウンドxの表し方がわからず、見にくく、すいません。　ラウンドxのあらわし方も一緒に教えてほしいのですがよろしくお願いいたします。

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■24379 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 偏微分の問題

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□投稿者/ 白拓大御所(727回)-(2007/05/01(Tue) 04:19:36)

x(u,v)=u,y(u,v)=vを代入しましょう。
最後にuをx,vをy,zをf(x,y)に置き換えてください。

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■24387 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 偏微分の問題

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□投稿者/ わんわん一般人(45回)-(2007/05/01(Tue) 12:22:22)

ご回答ありがとうございます。

質問があるのですが、x=u,y=vの場合だけ与式が成り立つことの証明にしかならないのではないのでしょうか?

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■24388 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 偏微分の問題

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□投稿者/ X ベテラン(211回)-(2007/05/01(Tue) 13:00:11)

横から失礼します。

>>x=u,y=vの場合だけ与式が成り立つことの証明にしかならないのではないのでしょうか?
曲面S:z=f(x,y){(x,y)はDに含まれる}
とは
曲面S:(x,y,f(x,y)){(x,y)はDに含まれる}
と同義です。
∴x,yの代わりにu,vとそれぞれ変数を置き換えて
曲面S:(u,v,f(u,v)){(u,v)はDに含まれる}
としても同値性は崩れません。

＞＞ラウンドxのあらわし方も一緒に教えてほしいのですが
きごう
と入力して変換すると候補の一つに
∂
が出てきます。
（或いは
すうがく
でも可）

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■24392 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 偏微分の問題

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□投稿者/ わんわん一般人(46回)-(2007/05/01(Tue) 15:49:08)

ご回答ありがとうございます。

すいません、質問なんですけど、いま、x,yはともにu,vの2変数関数として定義されてるんだと思うんですけど。x=u,y=vとおきなおすことに違和感を感じるんですが、御助言よろしくお願いいたします。

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■24401 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 偏微分の問題

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□投稿者/ 白拓大御所(733回)-(2007/05/02(Wed) 02:11:03)

■No24392に返信(わんわんさんの記事)
> x,yはともにu,vの2変数関数として定義されてるんだと思うんですけど。

　S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),{(u,v)はDに含まれる}
に対してμ(S)=…が成り立つならば
　x(u,v)=u, y(u,v)=v
という特殊な条件でも成り立つんですけど。

>∂
｢でる｣を変換してもでてくるようです。

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■24408 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 偏微分の問題

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□投稿者/ X ベテラン(213回)-(2007/05/02(Wed) 09:07:07)

2007/05/02(Wed) 10:38:07 編集(投稿者)

>>x=u,y=vとおきなおすことに違和感を感じるんですが
ごめんなさい。先走り過ぎました。
以下のようにすれば、x,yがu,vの２変数関数の場合の証明になります。

x=x(u,v)
y=y(u,v)
により
(u,v)∈D
なる領域D全体が
(x,y)∈D
なる領域D全体に移ったと考えます。
このときのヤコビヤンをJとすると
J=(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂y/∂u)(∂x/∂v) (A)
次に
z=f(x,y)
の関係がありますので
∂z/∂u=fx(∂x/∂u)+fy(∂y/∂u) (B)
∂z/∂v=fx(∂x/∂u)+fy(∂y/∂u) (C)
(B)(C)を問題の式に代入して整理すると最終的に
S=∬[D]√{1+(fx)^2+(fy)^2}|(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂y/∂u)(∂x/∂v)|dudv
注）√の中の一つ目の()をくくり出せる形になります。
()の中はいずれも行列式の形になっていることに注意すると
多少、計算は楽です。

これに(A)を代入すると
S=∬[D]√{1+(fx)^2+(fy)^2}|J|dudv
=∬[D]√{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy
となります。

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■24415 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 偏微分の問題

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□投稿者/ わんわん一般人(49回)-(2007/05/02(Wed) 15:07:05)

Ｘさん、白拓さん本当にありがとうございました。
なんとか、理解できました。

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