 | > > (問)mを自然数とする。xに関する2次方程式x^2+mx+7=0の解がすべて有理数となるmの値を求めよ。また,そのときの解を求めよ。
解の公式より x = {- m± √(m^2 - 28)}/2 となります。
有理数になるためにはルートが外れなくてはいけません。nを整数として
m^2 - 28 = n^2 ⇔ m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 2^2 * 7 = 28
を満たせばよいわけですね。m, nは整数だからm + n, m - nも整数です。
(m + n) + (m - n) = 2mですから(m + n), (m - n)は共に偶数か共に奇数です。とすると
(m + n, m - n) = (2, 14), (14, 2)しかありませんね。
m = 8となって解は-1, -7です。
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