 | 関係式
↑AP = 4/9 ↑AB + 1/6 ↑AC
から
↑BP = ↑AP - ↑AB = -5/9 ↑AB + 1/6 ↑AC
↑CP = ↑AP - ↑AC = 4/9 ↑AB - 5/6 ↑AC
が得られます。したがって
|↑AP|^2 = 16/81 |↑AB|^2 + 4/27 ↑AB・↑AC + 1/36 |↑AC|^2
|↑BP|^2 = 25/81 |↑AB|^2 - 5/27 ↑AB・↑AC + 1/36 |↑AC|^2
|↑CP|^2 = 16/81 |↑AB|^2 - 20/27 ↑AB・↑AC + 25/36 |↑AC|^2
となります。ここで x = 1/81 |↑AB|^2, y = 1/27 ↑AB・↑AC,
z = 1/36 |↑AC|^2 と置きます。更に、点 P が三角形 ABC の外心
(外接円の中心)であるということは |↑AP| = |↑BP| = |↑CP| = R
が成り立ちます。以上から、連立一次方程式
16x + 4y + z = R^2
25x - 5y + z = R^2
16x - 20y + 25z = R^2
が導かれ、解 x = R^2/21, y = R^2/21, z = R^2/21 をもちます。
したがって
|↑AB|^2 = 81x = 81/21 R^2
↑AB・↑AC = 27y = 27/21 R^2
|↑AC|^2 = 36z = 36/21 R^2
および
|↑BC|^2 = |↑AC - ↑AB|^2
= |↑AC|^2 - 2 ↑AC・↑AB + |↑AB|^2
= 63/21 R^2
が得られ、三辺の比がでます。
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