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■24333 / inTopicNo.1)

　2次関数

□投稿者/ やまとも軍団(100回)-(2007/04/28(Sat) 11:08:57)

2007/04/29(Sun) 00:30:26 編集(投稿者)
2007/04/29(Sun) 00:28:35 編集(投稿者)

（1）x≧0,y≧0,x+y=1のときx^3+x^3の最大値および最小値を求めよ。

（2）(x+y)≦a(x^3+y^3)が正のx,yに対して常に成立するようなaの最小値を求めよ。

（1）は最大値が1、最小値が1／4と出来たのですが、（2）がわからないので教えてください。

(携帯)

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■24338 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2次関数

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□投稿者/ X ベテラン(209回)-(2007/04/28(Sat) 16:28:42)

2007/04/28(Sat) 17:15:22 編集(投稿者)
2007/04/28(Sat) 17:13:39 編集(投稿者)

略解）
x+y=u(但しu>0) (A)
と置き、(1)と同様の計算で
(A)かつx>0,y>0のときのx^3+y^3の値の範囲をuで表してみると
(1/4)u^3≦x^3+y^3<u^3
(i)a≧0のとき
条件を満たすためには
u≦a(1/4)u^3
これより
au^2≧4
∴a≧4/u^2>0
ですが、4/u^2に最大値は存在しませんので、求めるaの最小値は存在しません
(ii)a<0のとき
条件を満たすためには
u≦au^3
これより
au^2≧1
a≧1/u^2>0
これは矛盾しますので不適。

以上より求める最小値は存在しません。
（問題にタイプミスはありませんか？。）

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■24341 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2次関数

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□投稿者/ やまとも一般人(3回)-(2007/04/29(Sun) 00:33:01)

2007/04/29(Sun) 00:33:25 編集(投稿者)

申し訳ありません。間違っています。

（２）(x+y)^3≦a(x^3+y^3)が正のx,yに対して常に成立するようなaの最小値を求めよ。

でした。本当にすみません。

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■24342 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2次関数

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(279回)-(2007/04/29(Sun) 01:05:11)

やまともさん，こんばんわ．

> 2007/04/29(Sun) 00:33:25 編集(投稿者)
>
> 申し訳ありません。間違っています。
>
> （２）(x+y)^3≦a(x^3+y^3)が正のx,yに対して常に成立するようなaの最小値を求めよ。
>
>
> でした。本当にすみません。

与えられた不等式は両辺ともに $2$x,y$ について $2$3$ 次の同次式ですので，この手の問題は，両辺を $2$x^{3}$ で割ってみて，
$2$ \left(1+\frac{y}{x}\right)^{3}\leq a\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right)$
とし， $2$y/x = t$ とおいて，任意の正の数 $2$t>0$ に対して，
$2$ 1+t^{3}\leq a(1+t^{3})$
が成立するような $2$a$ の値の範囲を求めればよいかと思います．

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■24386 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 2次関数

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□投稿者/ X ベテラン(210回)-(2007/05/01(Tue) 12:02:15)

＞＞申し訳ありません。間違っています。
＞＞（２）(x+y)^3≦a(x^3+y^3)が正のx,yに対して常に成立するようなaの最小値を求めよ。
＞＞でした。本当にすみません。

それでしたら、以下のようになります。

略解）
x+y=u(但しu>0) (A)
と置き、(1)と同様の計算で
(A)かつx>0,y>0のときのx^3+y^3の値の範囲をuで表してみると
(1/4)u^3≦x^3+y^3<u^3 (B)
一方、問題の不等式は
u^3≦a(x^3+y^3) (C)
(B)より
0<x^3+y^3
であり、また
0<u^3
ですので(C)より
a>0
よって、題意を満たすためには
u^3≦a・{(1/4)u^3}
これより
4≦a
∴求めるaの最小値は4です。

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■24411 / inTopicNo.6)

　ありがとうございました

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□投稿者/ やまとも軍団(101回)-(2007/05/02(Wed) 09:45:16)

ウルトラマンさん、Xさんありがとうございました。助かりました。

(携帯)

解決済み!

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