 | 2007/04/25(Wed) 16:09:30 編集(投稿者)
0<fn(p)<ε+(1-ε)/(1+nε^p) (A)
から
lim[n→∞]fn(p)=0
を示すには,(A)にはさみうちの原理を用いればよいだけです。
(A)の証明が分からないと解釈して、以下にその証明を書いておきます。
0<x<1 (A)
において
0<1/(1+nx^p) (B)
∴∫[0→1]0dx<∫[0→1]dx/(1+nx^p)
∴0<∫[0→1]dx/(1+nx^p) (C)
一方、p>0ゆえ
y=1/(1+nx^p) (D)
は(A)において単調減少ですので
曲線(D)とx,y軸,直線x=1で囲まれた領域の面積をS1
0<ε<1なるεに対して
4点(0,0),(0,1),(ε,1),(ε,0)
を頂点に持つ長方形と
4点(ε,0),(ε,1/(1+nε^p)),(1,1/(1+nε^p)),(1,0)
を頂点に持つ長方形の面積の和をS2とすると
S2>S1 (E)
S1=∫[0→1]dx/(1+nx^p) (F)
S2=ε+(1-ε)/(1+nε^p) (G)
(E)(F)(G)より
∫[0→1]dx/(1+nx^p)<ε+(1-ε)/(1+nε^p) (H)
(C)(H)より(A)は成立します。
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