 | 大変な問題ですね．
とりあえず，ベクトルはa~,b~,c~のように書きます．(でないと，少し煩雑だから)
この問題，式を立てていかないとどうしようもないので，P,Q,Rの位置ベクトルをそれぞれp~,q~,r~として，式にしましょう．
p~=(1-m)b~ +mq~…①
q~=(1-n)c~ +nr~…②
r~=(1-k)a~ +kp~…③
となりますね．
ここで，①～③をp~,q~,r~の連立方程式に見立てて，r~=(a~,b~,c~の式)まで持っていきましょう．
つまり，p~とq~を消去してしまえばいいわけです．
③に①を代入:r~=(1-k)a~ +k{(1-m)b~+mq~} ⇒ r~=(1-k)a~ +k(1-m)b~ +kmq~…④
④に②を代入:r=(1-k)a~ +k(1-m)b~ +km{(1-n)c~+nr~} ⇒r~=(1-k)a~ +k(1-m)b~ +km(1-n)c~ +kmnr~
⇒ (1-kmn)r~ =(1-k)a~+k(1-m)b~+km(1-n)c~となります．
ここで，図から0<k,m,n<1は明らかなので，1-kmn>0であることがわかります．
従って，両辺を1-kmnで割ると，目的のr~=(a~,b~,c~の式) が得られることになります．
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