 | ではヒントを。
t=2^x+2^(-x) (A)
を用いて
y=4^x-6・2^x-6・2^(-x)+4^(-x) (B)
をtで表して考えます。
(1)
(B)より
y=4^x+4^(-x)-6{2^x-2^(-x)}
∴y={2^x+2^(-x)}^2-2-6{2^x-2^(-x)}
これに(A)を代入すると
y=t^2-6t-2 (C)
一方、(A)において、相加平均と相乗平均の関係により
t≧2√{(2^x){2^(-x)}}=2 (D)
(不等号の下の等号は2^x=2^(-x),つまりx=0のとき成立)
(D)の条件の下でtの２次関数(C)の最小値を求めます。
(2)
(A)からxをtで表してみることを考えます。
(A)で2^x=uと置くと
t=u+1/u
∴u^2-tu+1=0
∴u={t±√(t^2-4)}/2
uを元に戻すと
x=log[2][{t±√(t^2-4)}/2]
従って
t>2のとき
一つのtの値に対し二つのxの値が対応し
t=2のとき
x,tは1対1に対応する
ことがわかります。
よって
y=a
をtの方程式と見たときの解の個数をnとすると、求める解xの個数は
t>2のとき2n
t=2のときn
となります。
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