 | こんばんわ．
(a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2)≧0だったらいいわけですね．ここで，a^2+ab+b^2=(a-b/2)^2 +(3/4)b^2>0が分かっているので，
(a-1)(a-b)(a^2+ab+b^2)≧0 ⇔ (a-1)(a-b)≧0となります．
ちなみに，a^2+ab+b^2>0,a^2-ab+b^2>0の性質は知って置いてくださいね．(証明法は平方完成が一番考えやすいかな)
少し考えやすいように，a=xと置いてみましょう．(x-1)(x-b)≧0 です．これだと，2次不等式の問題に見えますよね．(aのままでも見えててほしいけど…)
(1) 全ての実数x(元はa)に対して，(x-1)(x-b)≧0となるようなbの値．
⇒明らかにb=1しかありえません．
(y=(x-1)(x-b)のグラフを書いてみると，b<1でもb>1でも，グラフがx軸より下に来ることがあります)
(2) 全ての整数x(元はa)に対して，(x-1)(x-b)≧0となるような整数bの値．
このとき，y=(x-1)(x-b)のグラフは，x軸より常に上側にある必要はありません．
例えば，整数ではないですが，b=3/2のとき，y=(x-1)(x-3/2) のグラフは，x軸とx=1,3/2で交わります．
さて，このグラフがx軸より下側に来るのは1<x<3/2で，xがどんな整数でもy=(x-1)(x-3/2)は，x軸より上側(またはx軸上)にあることになり，
『全ての整数xに対して，(x-1)(x-3/2)≧0が成り立つ』と言えますね．
このような状況になる整数bを考えてみてください．b=0,2がありませんか?
(1)ではb=1が答えで，当然(2)でも答えになるので，b=0,1,2が求める答えになります．
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