 | 横から失礼します。ゴリゴリ計算してみましたが、現役引退さんのおっしゃる
とおり逆三角関数(arcsin, arccos)が出てしまいますね(高校の範囲を逸脱して
しまいます...)。とりあえず、以下のようになりました。
この図形の対称性から x, y, z ≧ 0 の範囲のみを考えます。
(1) 半径 a, 中心 (x, √(a^2 - x^2), 0) で x 軸に垂直な円
(y - √(a^2 - x^2))^2 + z^2 = a^2
と平面 z = t との交点は
Q: (x, √(a^2 - x^2) + √(a^2 - t^2), t)
R: (x, √(a^2 - x^2) - √(a^2 - t^2), t)
となります。点 Q の y 座標は常に正です。一方、点 R の y 座標が正
となるのは x < t のときです。したがって、求めるべき断面における
x, y ≧ 0 となる部分の面積は
S = ∫[0→a]{ √(a^2 - x^2) + √(a^2 - t^2) }dx
- ∫[0→t]{ √(a^2 - x^2) - √(a^2 - t^2) }dx
となります。ここで x = a sin(θ) と置くと dx = a cos(θ) dθ であり、
x: 0 → a のとき θ: 0 → π/2 および x: 0 → t のとき θ: 0 → arcsin(t/a)
となります。したがって
S = ∫[0→π/2] a^2 cos(θ)^2 dθ + a√(a^2 - t^2)
- ∫[0→arcsin(t/a)] a^2 cos(θ)^2 dθ + t√(a^2 - t^2)
= (a + t)√(a^2 - t^2) + 1/2 a^2[ θ + 1/2 sin(2θ) ]_[0→π/2]
- 1/2 a^2[ θ + 1/2 sin(2θ) ]_[0→arcsin(t/a)]
= (a + t)√(a^2 - t^2) + 1/2 a^2( π/2 - arcsin(t/a) - (t/a)√(1 - (t/a)^2) )
= 1/2 (2a + t)√(a^2 - t^2) + 1/4 a^2(π - 2 arcsin(t/a))
となり、断面積は
4S = 2(2a + t)√(a^2 - t^2) + a^2(π - 2 arcsin(t/a))
となります。
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