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■24109 / inTopicNo.1) 　不等式の証明
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□投稿者/ スパイダー 一般人(1回)-(2007/04/19(Thu) 21:09:50)
    実数a,bが不等式|a|<1<bを満たすとき、−1<（ab+1)/(a+b)<1が成立することを証明せよ。
    という問題で、解説には|a|<1<bよりa+b>0であるから、−(a+b)<ab+1<a+bを証明するとあるんですが、それがわかりません。
    どなたか教えていただけませんか。
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■24110 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 軍団(136回)-(2007/04/19(Thu) 21:35:58)
    |a|<1<bよりa+b>0

    これは理解できますか？
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■24113 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 不等式の証明
□投稿者/ スパイダー 一般人(3回)-(2007/04/20(Fri) 00:21:38)
    |a|はaの値が＋と−の両方が考えられるけど、この場合は、−だと|a|<1が成り立たないからですか？a=−１だとすると、絶対値は１だから等式になってしまうと考えたんですが・・・。実は、この部分さえよくわかっていないような気がします。
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■24128 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 軍団(137回)-(2007/04/20(Fri) 19:34:34)
    |a|<1<bは、|a|<1かつ1<bですね。
    ここで、|a|<1⇔-1<a<1
    これと1<bを足すと0<a+bになります。
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■24129 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 不等式の証明
□投稿者/ スパイダー 一般人(4回)-(2007/04/20(Fri) 22:07:54)
    なるほど。|a|<1⇔-1<a<1になるわけですね。今まで意味がわからないことを考えていました。それは理解できたのですが、|a|<1<bよりa+b>0からなぜ、
    −(a+b)<ab+1<a+bを証明することにつながるのでしょうか？

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■24135 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 軍団(138回)-(2007/04/21(Sat) 14:57:35)
    −1<（ab+1)/(a+b)<1の各辺にa+bをかけます。
    すると-(a+b)<ab+1<a+bになります。
    (a+b>0なので不等式の向きは変わりませんね。)
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■24136 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 不等式の証明
□投稿者/ スパイダー 一般人(5回)-(2007/04/21(Sat) 15:45:51)
    両辺にかけるのですね。
    ここから、どのように証明するのか今ひとつわかりません。不等式の証明は
    右辺−左辺＞０を示せばよいんですよね？
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■24152 / inTopicNo.8) 　Re[7]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 軍団(139回)-(2007/04/22(Sun) 00:51:06)
    >不等式の証明は右辺−左辺＞０を示せばよいんですよね？
    まったくそのとおりです。

    右辺ー左辺を因数分解してみましょう。
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■24167 / inTopicNo.9) 　Re[8]: 不等式の証明
□投稿者/ スパイダー 一般人(6回)-(2007/04/22(Sun) 19:31:41)
    因数分解してみました。
    すると、ab+1−｛−（a+b)}=（a+1)(b+1)
    a+b−(ab+1)=(1-a)(b-1)
    となりました。でも、どうしてこれが＞０になるのかよくわかりません。

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■24170 / inTopicNo.10) 　Re[9]: 不等式の証明
□投稿者/ だるまにおん 軍団(140回)-(2007/04/22(Sun) 19:54:44)
    |a|<1⇔-1<a<1より0<a+1<2なのでa+1>0
    b>1なのでb+1>0
    したがって(a+1)(b+1)>0　
    (正のものを掛け合わせたら正になるのは分りますよね？)
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■24176 / inTopicNo.11) 　Re[10]: 不等式の証明
□投稿者/ スパイダー 一般人(7回)-(2007/04/22(Sun) 20:24:07)
    なるほど。正×正＝正はわかります。
    すると、(1-a)(b-1)も同じように考えて、1-a＞０、b-1＞０になるので
    (1-a)(b-1)＞０となるわけですね！よくわかりました。
    だるまにおんさん、今までわかりやすく丁寧に教えてくださって本当にありがとうございました。おかげで、この問題が本当によく理解できました。

解決済み!
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