 | 2007/04/19(Thu) 12:28:55 編集(投稿者)
f(x)=ax^2+bx+c
と置くと
f(0)=c
∴題意を満たすためには
c=2k(k：整数) (A)
このとき
f(1)=a+b+c=a+b+2k
∴題意を満たすためには
∴a+b=2l(l:整数) (B)
(A),(B)より
f(x)=ax^2+(2l-a)x+2k
=a(x-1)x+2lx+2k
ここでxが整数のとき
(x-1)x
は偶数ですので、f(x)が偶数であるためには
a=m (C)
(m:整数)
これを(B)に代入すると
b=2l-m
逆に整数k,l,mに対し
(a,b,c)=(m,2l-m,2k)
のとき
f(x)=mx^2+(2l-m)+2k
=mx(x-1)+2lx+2k
ですので題意を満たします。
よって求める必要十分条件は
a,bが奇数かつcが偶数
又は
a,b,cが全て偶数
です。
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