 | これは最小二乗近似の問題です。ひたすら気合で計算しましょう。
まず f(1) = g(1), f(-1) = g(-1) から
a + b + c + d = 0
-a + b - c + d = 2
が得られるので
a + c = -1 ⇒ c = -(1 + a)
b + d = 1 ⇒ d = 1 - b
となります。ここで、関数
J(a, b)
= ∫[-1→1]{f(x) - g(x)}^2 dx
= ∫[-1→1]{x^4 - x - (a x^3 + b x^2 - (1 + a)x + 1 - b)}^2 dx
における被積分関数を
{x^4 - x - (a x^3 + b x^2 - (1 + a)x + 1 - b)}^2
= {(-x^3 + x)a + x^4 - b x^2 + b - 1}^2
= (-x^3 + x)^2 a^2 + 2(-x^3 + x)(x^4 - b x^2 + b - 1)a + (x^4 - b x^2 + b - 1)^2
と a に関して整理します。すると関数 J の a^2, a, 1 の係数はそれぞれ
∫[-1→1](-x^3 + x)^2 dx
= ∫[-1→1](x^6 - 2 x^4 + x^2) dx
= 16/105
∫[-1→1] 2(-x^3 + x)(x^4 - b x^2 + b - 1) dx
= ∫[-1→1] 奇関数 dx
= 0
∫[-1→1](x^4 - b x^2 + b - 1)^2 dx
= ∫[-1→1]{x^8 + b^2 x^4 + (b - 1)^2 - 2b x^6 - 2b(b - 1)x^2 + 2(b - 1)x^4} dx
= 16/15 (b^2 - 16/7 b + 4/3)
となります。したがって
J(a, b)
= 16/105 a^2 + 16/15 (b^2 - 16/7 b + 4/3)
= 16/105 a^2 + 16/15 (b - 8/7)^2 + ...
と平方完成すれば a = 0, b = 8/7 において J は最小値をとり
a = 0
b = 8/7
c = -1
d = -1/7
が得られます。
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