数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 数 / Page: 0]

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■24017 / inTopicNo.1)

　数

▼■

□投稿者/ みな一般人(1回)-(2007/04/16(Mon) 22:38:16)

今日は金曜日である
　　　　　　　　　　　　3＾100日後は何曜日か？
解説してもらったのですがいまいちわからないので
教えてください！

(携帯)

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■24019 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数

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□投稿者/ ウルトラマン大御所(273回)-(2007/04/17(Tue) 00:45:19)

みなさん，こんばんわ．

> 今日は金曜日である
> 　　　　　　　　　　　　3＾100日後は何曜日か？
> 解説してもらったのですがいまいちわからないので
> 教えてください！
>
> (携帯)

算数の問題です． $2$3^{n}(n=1,2,3,\cdots)$ を $2$7$ で割ったときの余りの周期性に注目します．すると，
$2$ 3^{1}\equiv 3(mod 7) \\ 3^{2}\equiv 2(mod 7) \\ 3^{3}\equiv 6(mod 7) \\ 3^{4}\equiv 4(mod 7) \\ 3^{5}\equiv 5(mod 7) \\ 3^{6}\equiv 1(mod 7) \\ 3^{7}\equiv 3(mod 7)$
となりますから，周期が $2$6$ であることが分かります．従って，
$2$ 100\div 6 = 16...3$
より， $2$3^{100}$ を $2$7$ でわったときの余りは， $2$3^{3}$ を $2$7$ で割ったときのあまりに等しいから， $2$6$ つまり， $2$6$ 日後と同じ曜日となりますので，「木曜日」が正解です．

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■24020 / inTopicNo.3)

　数

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□投稿者/ みな一般人(2回)-(2007/04/17(Tue) 00:55:50)

回答ありがとございます
失礼なのですが、
解答の正解は火曜と
なってるんです

(携帯)

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■24025 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数

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□投稿者/ Ｎファミリー(192回)-(2007/04/17(Tue) 05:51:42)

2007/04/17(Tue) 05:54:38 編集(投稿者)

横から失礼します。

＞解答の正解は火曜と
＞なってるんです

それは、ウルトラマンさんの解答の中で、100を６で割った余りは、３ではなくて４だからですね。
すると、3^100は3^4を考えればいいので、これを７で割った余りは４。つまり４日後だから、火曜日です。

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■24026 / inTopicNo.5)

　数

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□投稿者/ みな一般人(3回)-(2007/04/17(Tue) 08:20:36)

本当に理解力なくてごめんなさい
3＾4のあまりと等しいのはどうしてですか？

(携帯)

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■24033 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数

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□投稿者/ らすかる大御所(638回)-(2007/04/17(Tue) 18:48:14)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

別解
3^100=(3^3)^33×3=27^33×3
=(28-1)^33×3
=(28^33-33C1・28^32+33C2・28^31-…+33C32・28^1-1)×3
=(28^33-33C1・28^32+33C2・28^31-…+33C32・28^1)×3-3
カッコ内は7で割り切れますので、3^100を7で割った余りは4ですね。

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■24051 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数

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□投稿者/ Ｎファミリー(193回)-(2007/04/18(Wed) 06:14:41)

3^6は７で割ると、１余るんですね。
ということは、3^6＝7k+1(kは整数)と表せます。まあ、ｋは求めることは可能ですが、大変なので仮にこうおいておきます。
納得いかない！という場合は、3^6=729でこれを実際に割ってみるといいでしょう。

すると、3^100＝3^6*3^6*…*3^6*3^4となりますね。ちなみに3^6は16回かけてます。
で、これは3^100＝(7k+1)(7k+1)…(7k+1)*3^4となります。
(7k+1)(7k+1)…(7k+1)を７で割ったときの余りは結局１になります。
後は全て７の倍数なのでね。
故に、3^100を７で割った余りは、3^4を７で割った余りを考えればＯＫということになります。

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