 | 2007/04/16(Mon) 18:31:55 編集(投稿者)
No.24007の続き)
・切れ端の体積の求め方
半径1の円柱を底面の直径を含み、底面とのなす角がθの平面で二つの立体に切り分けます。
この二つの立体のうち、小さいほうの体積をVとすると、求める切れ端の体積は
θ=π/12,π/6,π/4
の場合のVを２倍したものに等しくなります。
今、xy平面に底面の境界線を
x^2+y^2=1(y≧0)
y=0
と取って考えると、この立体をx軸に垂直な平面
x=t (A)
で切った断面は
底辺が√(1-t^2)
(A)とx軸との交点に対する角度がθ
の直角三角形になります。従ってこの面積をS[t]とすると
S[t]=(1/2)√(1-t^2){√(1-t^2)tanθ}
=(1/2)(1-t^2)tanθ
∴V=∫[-1→1]S[t]dt
=∫[-1→1](1/2)(1-t^2)tanθdt
=(2/3)tanθ
よって、No.24007の図で頂角A,B,Cに対応する切れ端の体積はそれぞれ
(4/3)tan(π/12),(4/3)tan(π/6),(4/3)tan(π/4)
になります。
（tan(π/12)は半角の公式を用いて求めます。)
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