数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: ド・モルガン / Page: 0]

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■23993 / inTopicNo.1)

　ド・モルガン

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□投稿者/ しにゃ＠一年一般人(4回)-(2007/04/16(Mon) 09:47:49)

「有限個(ｎ個)の命題p[1]～p[n]について、ド・モルガンの法則が成り立つことを示せ」という問題の証明方法がわかりません・・・。論理に厳密な回答をお願いしますm(_ _)m

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■23994 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ド・モルガン

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□投稿者/ X ファミリー(161回)-(2007/04/16(Mon) 09:57:18)

2007/04/16(Mon) 09:59:23 編集(投稿者)

例えば命題Aの否定を
^A
と書くことにします。

命題A,Bに対し、ド・モルガンの法則
^(A∩B)=^A∪^B (A)
^(A∪B)=^A∩^B (B)
が証明無しで使えるものとすれば、nに対する数学的帰納法で証明できます。
(但しn=2の場合から始めます。)

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■23995 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ド・モルガン

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□投稿者/ しにゃ＠一年一般人(6回)-(2007/04/16(Mon) 10:12:09)

Xさん　ありがとうございます。

帰納法は僕も考えてはみたのですが、n=kの仮定からn=k+1のところに繋ぐ方法がうまくできませんでした・・・申し訳ありませんが、そこのところの方法をお願いします。ちなみにこの問題には「p[1]∧・・・∧p[n]およびp[1]∨・・・∨p[n]という表記が意味を持つことも示せ」という補題がついていて、これに関してはチンプンカンプンでした。この部分もわかるのでしたら教えてください。「教えてください」が多くて申し訳ありませんm(_ _)m

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■24001 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ド・モルガン

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□投稿者/ X ファミリー(163回)-(2007/04/16(Mon) 13:09:22)

2007/04/16(Mon) 13:21:19 編集(投稿者)

では先に
p[1]∩・・・∩p[n]という表記が意味を持つこと
を数学的帰納法を使って示しておきます。
p[1]∪・・・∪p[n]
についても同様ですので自分でやってみて下さい。

(i)n=2のとき
これは自明です。
(ii)n=kのとき
p[1]∩・・・∩p[n]が
が意味を成すと仮定します。
このとき
p[1]∩・・・∩p[k]=Q[k]
という集合Q[n]を定義できますので
Q[k]∩p[k+1]
も集合として意味を成します。
ここで
Q[k]∩p[k+1]
={p[1]∩・・・∩p[k]}∩p[k+1]
∴p[1]∩・・・∩p[k]∩p[k+1]={p[1]∩・・・∩p[k]}∩p[k+1]
と定義すれば、n=k+1のときも命題は成立します。

では
^(p[1]∩・・・∩p[n])=^p[1]∪・・・∪^p[n] (C)
を数学的帰納法で示します。
（^(p[1]∪・・・∪p[n])=^p[1]∩・・・∩^p[n]　についても同様です。）
(i)n=2のとき
(A)より成立。
(ii)n=kのとき、(C)の成立を仮定します。
つまり
^(p[1]∩・・・∩p[k])=^p[1]∪・・・∪^p[k] (C)'
n=k+1のとき
^(p[1]∩・・・∩p[n])
=^(p[1]∩・・・∩p[k]∩p[k+1])
=^{(p[1]∩・・・∩p[k])∩p[k+1]}
(上記の補題による)
=^(p[1]∩・・・∩p[k])∪^p[k+1]
(∵(A)より)
=(^p[1]∪・・・∪^p[k])∪^p[k+1]　
(∵(B)を代入)
=^p[1]∪・・・∪^p[k]∪^p[k+1]　
(上記の補題のようにp[1]∪・・・∪p[n]について考えます)
∴n=k+1のときも(B)は成立します。

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■24027 / inTopicNo.5)

　Re[3]: ド・モルガン

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□投稿者/ しにゃ＠一年一般人(7回)-(2007/04/17(Tue) 09:05:40)

なるほど、補題についても数学的帰納法で証明できるのですね！！大変ためになりました！丁寧な解説ありがとうございましたm(_ _)m

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