 | (1)
lim[x→1]{f(x)/(x-1)}=1 (A)
lim[x→2]{f(x)/(x-a)}=-5 (B)
とします。
(A)より
lim[x→1]f(x)=0
でなければなりませんのでf(x)はx-1を因数に持たなければなりません。
一方(B)より
(i)a=2のとき
lim[x→2]f(x)=0
でなければなりませんのでf(x)はx-2も因数に持たなければなりません。
このこととf(x)が3次式であることから
f(x)=(x-2)(x-1)(Ax+B) (D)
と置くことができます。
(D)を(A)(B)に代入すると
-(A+B)=1 (E)
2A+B=-5 (F)
(E)(F)を連立して解くと
(A,B)=(-4,3)
∴f(x)=(x-1)(x-2)(-4x+3)
(ii)a≠2のとき
f(x)=(x-1)(Ax^2+Bx+C)
と置くことができますので(A)(B)に代入すると
A+B+C=1 (A)'
4A+2B+C=-5(2-a) (B)'
(B)'-(A)'×2より
A=(C+5a-12)/2
(A)'×4-(B)'より
2B+3C=14-5a
B=(14-5a-3C)/2
∴f(x)=(1/2)(x-1){(C+5a-12)x^2+(14-5a-3C)x+2C}
上式でa=2のとき
∴f(x)=(1/2)(x-1){(C-2)x^2+(4-3C)x+2C}
=(1/2)(x-1){(C-2)x-C}(x-2)
これが(i)のf(x)と一致するものとすると
C/2-1=-4
-C/2=3
∴このときCは任意の値とはなりません。
以上より
a≠2のとき
f(x)=(1/2)(x-1){(t+5a-12)x^2+(14-5a-3t)x+2t}
(tは任意の実数)
a=2のとき
f(x)=(x-1)(x-2)(-4x+3)
(2)
lim[x→a]{xf(x)-af(a)}/(x-a)
=lim[x→a]{xf(x)-xf(a)+xf(a)-af(a)}/(x-a)
=lim[x→a]{x{f(x)-f(a)}+(x-a)f(a)}/(x-a)
=lim[x→a]{x[{f(x)-f(a)}/(x-a)]+f(a)}
=af'(a)+f(a)
|
